Método

Valor medio de una función

El promedio de una lista de números se calcula sumando y dividiendo por cuántos hay. Para una función el problema es que hay infinitos valores, así que la suma se reemplaza por una integral y la cantidad por el largo del intervalo.

El resultado es la altura de un rectángulo que tiene la misma base que el intervalo y la misma área que la que hay bajo la curva. Es la altura que tendría la función si fuera constante y encerrara lo mismo.

El teorema del valor medio para integrales agrega algo más: si la función es continua, ese promedio se alcanza en algún punto del intervalo. O sea que existe un lugar donde la función vale exactamente su propio promedio.

La continuidad es necesaria. Una función con un salto puede tener un promedio que nunca alcanza, porque justo ese valor cae en el hueco.

Conviene no confundirlo con el teorema del valor medio de Lagrange, que es sobre derivadas y habla de pendientes. Este es sobre integrales y habla de alturas.

fprom=1b−a∫abf(x) dxf_{\text{prom}} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx
Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide el valor medio o promedio de una función en un intervalo. Integrá y dividí por el largo del intervalo. Si además piden el punto donde se alcanza, igualá la función a ese promedio.

Ejemplo 1

Hallar el valor medio de f(x)=x2f(x) = x^{2} en [0,3][0, 3].

Calculamos la integral. La primitiva es x33\frac{x^{3}}{3}, que evaluada entre 00 y 33 da 99.
Medimos el intervalo. Su largo es 33.
Dividimos.
Interpretamos. Un rectángulo de base 33 y altura 33 encierra la misma área que la parábola en ese tramo.
Respuesta: 33

Ejemplo 2

Hallar el punto donde f(x)=x2f(x) = x^{2} alcanza su valor medio en [0,3][0, 3].

Usamos el valor medio ya calculado, que es 33.
Planteamos la ecuación. Buscamos cc tal que c2=3c^{2} = 3.
Despejamos. Sale c=3c = \sqrt{3} o c=−3c = -\sqrt{3}.
Descartamos el que está fuera del intervalo. El negativo no sirve.
Respuesta: c=3c = \sqrt{3}

Error típico

Olvidar dividir por el largo del intervalo. Sin esa división lo que queda es el área, no el promedio.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

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