Primitivas

Una primitiva de una función es otra función cuya derivada da la original. Integrar es justamente eso: recorrer el camino de la derivada al revés.

Por eso la forma de verificar cualquier integral es derivar el resultado. Si al derivar se recupera el integrando, la primitiva está bien. Es un chequeo que no cuesta nada y conviene hacerlo siempre.

Ninguna función tiene una sola primitiva. Si a una primitiva se le suma una constante, la derivada no cambia, porque la derivada de una constante es cero. Entonces hay infinitas primitivas y todas se diferencian en un número.

Esa familia infinita es lo que se escribe con la constante de integración al final. Omitirla es dar una sola primitiva cuando el ejercicio pide todas.

No toda función tiene primitiva expresable con las funciones conocidas. Hay integrandos sencillos de escribir cuya primitiva no se puede poner en términos de polinomios, exponenciales o trigonométricas. Eso no es una limitación de quien resuelve: está demostrado que no existe.

F es primitiva de f si

F'(x) = f(x)

Cuándo se usa

Es el concepto de fondo de toda la unidad. Cada vez que termines una integral, derivá el resultado para verificar: si no te da el integrando, hay un error en algún paso.

Ejemplo 1

Verificar que $F(x) = x^{4}$ es primitiva de $f(x) = 4x^{3}$ .

Recordamos la definición. Hay que comprobar que $F'(x)$ sea igual a $f(x)$ .
Derivamos F. Por la regla de la potencia, $F'(x) = 4x^{3}$ .
Comparamos con f. Coinciden exactamente.
Observamos que no es la única. $x^{4} + 7$ y $x^{4} - 2$ también funcionan, porque las constantes derivan a cero.
Respuesta: sí es primitiva, y también lo es $x^{4} + C$ para cualquier $C$

Ejemplo 2

Hallar una primitiva de $f(x) = \cos x$ y verificarla.

Buscamos en la tabla de derivadas al revés. ¿Qué función deriva en coseno? El seno.
Proponemos la primitiva. $F(x) = \operatorname{sen} x$
Verificamos derivando. $(\operatorname{sen} x) ' = \cos x$ . Coincide.
Agregamos la constante. La respuesta general es $\operatorname{sen} x + C$ .
Respuesta: $F(x) = \operatorname{sen} x + C$

Error típico

Contestar sin verificar. Derivar el resultado toma cinco segundos y detecta cualquier error de signo o de coeficiente. Es el único tema donde la verificación es más fácil que el ejercicio.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .