La constante de integración

La constante de integración representa a todas las primitivas de una función a la vez. Como sumar un número no cambia la derivada, cualquier valor sirve, y por eso se deja escrita como una letra.

Geométricamente, todas las primitivas son la misma curva desplazada verticalmente. Tienen exactamente la misma forma y la misma pendiente en cada punto: lo único que cambia es la altura.

En la integral indefinida la constante siempre va. Olvidarla es un error que los parciales descuentan, porque la respuesta queda incompleta.

En la integral definida no aparece, porque al restar los dos valores la constante se cancela consigo misma. Esa es una de las diferencias prácticas entre los dos tipos de integral.

Cuando el problema da una condición extra, del tipo la función vale tanto en tal punto, la constante deja de ser libre. Se reemplaza el dato y se despeja, y ahí queda una única primitiva. Esos ejercicios se llaman problemas de valor inicial y aparecen en física todo el tiempo.

\int f(x)

= F(x) + C

Cuándo se usa

Va en toda integral indefinida, sin excepción. Si el enunciado además da un dato del tipo la función vale tanto en tal punto, reemplazalo para despejar la constante y quedarte con una sola primitiva.

Ejemplo 1

Hallar todas las primitivas de $f(x) = 6x$ .

Buscamos una primitiva cualquiera. Probamos con $3x^{2}$ , porque al derivar da $6x$ .
Verificamos. $(3x^{2}) ' = 6x$ . Correcto.
Agregamos la constante para obtener la familia entera. $3x^{2} + C$
Interpretamos. Cada valor de $C$ da una parábola distinta, todas con la misma forma y desplazadas verticalmente.
Respuesta: $\int 6x \, dx = 3x^{2} + C$

Ejemplo 2

Hallar la primitiva de $f(x) = 2x$ que pasa por el punto $(1, 5)$ .

Escribimos la familia completa. $F(x) = x^{2} + C$
Usamos el dato del punto. Como pasa por $(1, 5)$ , tiene que cumplir $F(1) = 5$ .
Reemplazamos y despejamos. $1 + C = 5$ , entonces $C = 4$ .
Escribimos la respuesta concreta. Con el dato adicional, la primitiva queda determinada: ya no hay familia sino una sola función.
Respuesta: $F(x) = x^{2} + 4$

Error típico

Olvidarse del $+ C$ . En integral indefinida siempre va, sin excepción. En integral definida no va, y esa diferencia recién aparece en el bloque C.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

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