Cómo elegir la sustitución

Elegir bien es todo el trabajo de la técnica. Hay algunas pistas que funcionan casi siempre.

Lo que está adentro de una raíz, de un paréntesis elevado, de un exponente o de una función trigonométrica suele ser la elección correcta. Son los lugares donde la composición está a la vista.

Otra pista es mirar cuál parte del integrando, al derivarla, da algo parecido al resto. Si eso pasa, esa parte es la sustitución.

En cocientes conviene probar con el denominador, sobre todo si arriba hay algo parecido a su derivada. Ese caso es muy frecuente y da un logaritmo.

Si la primera elección no funciona, no hay que insistir: se prueba otra. Que una sustitución no cierre no significa que la integral no salga, solo que ese camino no era.

Y hay integrales que no salen por sustitución de ninguna manera. Si después de dos o tres intentos no cierra, conviene mirar si es un caso de integración por partes o de fracciones simples.

u =

lo de adentro y que

g'(x)

esté presente

Cuándo se usa

Al plantear una sustitución. Probá primero con lo que esté adentro de una raíz, un paréntesis elevado o un exponente. En cocientes, probá con el denominador. Si no cierra, cambiá de elección o de técnica.

Ejemplo 1

Calcular $\int x \cos(x^{2}) \, dx$ , donde falta el factor $2$ .

Elegimos u y escribimos du. $u = x^{2}$ , así que $du = 2x \, dx$ .
Vemos qué tenemos y qué necesitamos. En la integral hay $x \, dx$ , pero $du$ es $2x \, dx$ .
Despejamos lo que necesitamos. De $du = 2x \, dx$ sale $x \, dx = du/2$ .
Reemplazamos y sacamos la constante afuera. $\int \cos u \cdot du/2 = (1/2) \int \cos u du$
Integramos y volvemos a x. $(1/2) \operatorname{sen} u + C = \operatorname{sen}(x^{2})/2 + C$
Respuesta: $\int x \cos(x^{2}) \, dx = \operatorname{sen}(x^{2})/2 + C$

Ejemplo 2

Calcular $\int (\ln x)/x \, dx$ .

Buscamos una parte cuya derivada esté presente. La derivada de $\ln x$ es $1/x$ , y el $1/x$ está multiplicando.
Elegimos u. $u = \ln x$ , con $du = (1/x) \, dx$ .
Reemplazamos. $\int u du$
Integramos. $u^{2}/2 + C$
Volvemos a x. $(\ln x)^{2} / 2 + C$
Respuesta: $(\ln x)^{2} / 2 + C$

Error típico

Elegir $u$ sin comprobar que su derivada esté presente. Si elegís $u = x^{2}$ en $\int \cos(x^{2}) \, dx$ , te queda un $dx$ que no se puede convertir y el método se traba.

Practicar

← Sustitución: la idea Integración por partes →

Otros subtemas de Integrales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .