Sustitución trigonométrica

Cuando aparece una raíz con una suma o resta de cuadrados adentro, ninguna sustitución común la saca. La salida es cambiar la variable por una función trigonométrica elegida para que la identidad pitagórica haga desaparecer la raíz.

Hay tres casos y cada uno tiene su sustitución. Si adentro está una constante al cuadrado menos la variable al cuadrado, se usa el seno. Si es una suma de cuadrados, la tangente. Si es la variable al cuadrado menos la constante, la secante.

El truco de fondo es siempre el mismo: la identidad que relaciona seno y coseno convierte la suma o resta de cuadrados en un cuadrado perfecto, y ahí la raíz se cancela.

Después de integrar hay que volver a la variable original, y ese paso es el que más se olvida. Se hace con un triángulo rectángulo: la sustitución dice qué lado es cuál, y de ahí salen todas las funciones trigonométricas en términos de la variable.

No hay que dejar la respuesta en la variable auxiliar. La integral era en la original y la respuesta también tiene que estarlo.

\sqrt{a^{2}-x^{2}} \to x = a\operatorname{sen} t, \quad \sqrt{a^{2}+x^{2}} \to x = a\operatorname{tg} t

Cuándo se usa

Cuando hay una raíz con suma o resta de cuadrados adentro. Seno si es constante menos variable, tangente si es una suma, secante si es variable menos constante. Al final, armá el triángulo para volver a la variable original.

Ejemplo 1

Calcular $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx$ .

Reconocemos el caso. Adentro hay una resta de cuadrados con $a = 1$ .
Sustituimos $x = \operatorname{sen} t$ , con lo cual $dx = \cos t \, dt$ .
Reemplazamos en la raíz. Queda $\sqrt{1 - \operatorname{sen}^{2} t} = \cos t$ .
La integral se simplifica. El coseno de arriba se cancela con el de abajo y queda $\int dt = t$ .
Volvemos a la variable original despejando de la sustitución.
Respuesta: $\arcsin x + C$

Ejemplo 2

Calcular $\int \frac{1}{1+x^{2}} \, dx$ con sustitución trigonométrica.

Reconocemos el caso. Es una suma de cuadrados con $a = 1$ .
Sustituimos $x = \operatorname{tg} t$ , con lo cual $dx = \frac{1}{\cos^{2} t} \, dt$ .
Reemplazamos el denominador. Por la identidad, $1 + \operatorname{tg}^{2} t = \frac{1}{\cos^{2} t}$ .
Se cancelan y queda $\int dt = t$ .
Volvemos a $x$ .
Respuesta: $\arctan x + C$

Error típico

Dejar el resultado en función de $t$ . Hay que volver a $x$ armando el triángulo rectángulo que define la sustitución.

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