Integración por fracciones simples

Cuando hay que integrar un cociente de polinomios y el denominador se puede factorizar, conviene romper la fracción en varias más chicas. Cada una se integra directo y casi siempre da un logaritmo.

El método arranca con una condición: el grado del numerador tiene que ser menor que el del denominador. Si no lo es, primero se divide y queda un polinomio más un resto que sí cumple.

Después se factoriza el denominador y se propone una suma de fracciones, una por cada factor, con constantes desconocidas arriba. Esas constantes se calculan igualando numeradores y evaluando en las raíces, que es lo más rápido.

La forma de cada pieza depende del factor. Un factor lineal simple pide una constante sola. Un factor lineal repetido pide una fracción por cada potencia hasta la máxima. Un factor cuadrático sin raíces reales pide un binomio de primer grado arriba.

Casi siempre el resultado son logaritmos de los factores, cada uno con su constante. Cuando hay un cuadrático irreducible aparece además un arcotangente.

\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}

Cuándo se usa

Cuando hay un cociente de polinomios y el denominador factoriza. Chequeá primero los grados: si el de arriba no es menor, dividí antes. Para hallar las constantes, evaluá en las raíces del denominador.

Ejemplo 1

Calcular $\int \frac{1}{x^{2}-1} \, dx$ .

Factorizamos el denominador. Es una diferencia de cuadrados: $(x-1)(x+1)$ .
Proponemos la descomposición. Escribimos $\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ .
Igualamos numeradores. Queda $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .
Evaluamos en $x = 1$ . El término con $B$ se anula y queda $1 = 2A$ , así que $A = \frac{1}{2}$ .
Evaluamos en $x = -1$ . Queda $1 = -2B$ , así que $B = -\frac{1}{2}$ .
Integramos cada pieza. Cada una da un logaritmo.
Respuesta: $\frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$

Ejemplo 2

Calcular $\int \frac{x+3}{x^{2}+3x+2} \, dx$ .

Factorizamos. Las raíces son $-1$ y $-2$ , así que queda $(x+1)(x+2)$ .
Proponemos $\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$ e igualamos numeradores: $x + 3 = A(x+2) + B(x+1)$ .
Evaluamos en $x = -1$ . Queda $2 = A$ .
Evaluamos en $x = -2$ . Queda $1 = -B$ , así que $B = -1$ .
Integramos.
Respuesta: $2\ln|x+1| - \ln|x+2| + C$

Error típico

Aplicar el método sin revisar los grados. Si el numerador tiene grado mayor o igual que el denominador, primero hay que dividir.

Practicar

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