Curvas que se cruzan

Hallar el área entre $y = x^{3}$ e $y = x$ en $[-1, 1]$.

Hallamos los cortes. $x^{3} = x$ da $x(x^{2} - 1) = 0$, con soluciones $-1$, $0$ y $1$.
Probamos un punto del primer tramo. En $x = -0{,}5$: $x^{3} = -0{,}125$ contra $x = -0{,}5$. Arriba está $x^{3}$.
Integramos el primer tramo con ese orden. Integramos $x^{3} - x$ entre $-1$ y $0$. Primitiva $x^{4}/4 - x^{2}/2$, que da $0 - (1/4 - 1/2) = 1/4$.
Probamos el segundo tramo y lo integramos. En $x = 0{,}5$ arriba está $x$. Integramos $x - x^{3}$ entre $0$ y $1$: da $1/2 - 1/4 = 1/4$.
Sumamos los dos tramos. $1/4 + 1/4 = 1/2$
Respuesta: el área es $1/2$

Mostrar qué pasa si se integra de corrido sin partir.

Planteamos la integral sin partir. Integramos $x - x^{3}$ entre $-1$ y $1$ directamente.
Hallamos la primitiva. $x^{2}/2 - x^{4}/4$
Evaluamos en los dos extremos. En $1$: $1/2 - 1/4 = 1/4$. En $-1$: $1/2 - 1/4 = 1/4$ también.
Restamos. $1/4 - 1/4 = 0$
Comparamos con el área real. Da $0$ en vez de $1/2$. Los dos tramos se cancelaron porque en uno la resta estaba invertida.
Respuesta: de corrido da $0$, cuando el área real es $1/2$