Integración por partes

La integración por partes es la regla del producto leída al revés. Sirve cuando el integrando es un producto de dos funciones de tipos distintos y la sustitución no funciona.

La fórmula convierte una integral en otra. Se elige una parte para derivar y otra para integrar, y el resultado es un producto menos una integral nueva.

Lo importante es que la integral nueva sea más fácil que la original. Si queda peor, la elección fue al revés y conviene volver a empezar cambiando los roles.

Ese es el criterio para decidir si la técnica está funcionando: no hay que resolver hasta el final para darse cuenta, alcanza con mirar si la integral que quedó es más simple.

La técnica se aplica cuando en el producto hay una función que se simplifica al derivar, como un polinomio o un logaritmo, junto con otra que no se complica al integrar, como una exponencial o una trigonométrica.

A veces hay que aplicarla más de una vez, y a veces la integral original reaparece del otro lado, lo que permite despejarla como si fuera una ecuación.

\int u

= u \cdot v - \int v

Cuándo se usa

Cuando hay un producto de funciones de tipos distintos y la sustitución no cierra. Los casos típicos son polinomio por exponencial, polinomio por trigonométrica, y cualquier cosa multiplicada por un logaritmo.

Ejemplo 1

Calcular $\int x e^{x} \, dx$ .

Elegimos u y dv. $u = x$ y $dv = e^{x} \, dx$ .
Calculamos du y v. $du = \, dx$ y $v = e^{x}$ .
Reemplazamos en la fórmula. $x e^{x} - \int e^{x} \, dx$
Resolvemos la integral que quedó. $\int e^{x} \, dx = e^{x}$ .
Escribimos el resultado. $x e^{x} - e^{x} + C$ , que también es $e^{x} (x - 1) + C$ .
Respuesta: $\int x e^{x} \, dx = e^{x} (x - 1) + C$

Ejemplo 2

Calcular $\int \ln x \, dx$ .

Notamos que no hay producto visible. Se puede pensar como $\int \ln x \cdot 1 \, dx$ .
Elegimos u y dv. $u = \ln x$ y $dv = 1 \, dx$ . No hay alternativa: no sabemos integrar el logaritmo, pero sí derivarlo.
Calculamos du y v. $du = (1/x) \, dx$ y $v = x$ .
Reemplazamos. $x \ln x - \int x \cdot (1/x) \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx$
Resolvemos. $x \ln x - x + C$
Respuesta: $\int \ln x \, dx = x (\ln x - 1) + C$

Error típico

Olvidarse del menos delante de la segunda integral. La fórmula es $uv - \int v du$ , con resta. Con un más el resultado da mal y no verifica al derivar.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

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