Integrales impropias

La integral definida se construyó sobre un intervalo cerrado y con una función acotada. Cuando alguna de esas dos condiciones falla, la integral se llama impropia y hay que definirla con un límite.

Hay dos tipos. En las de primera especie el intervalo es infinito: se integra desde un número hasta el infinito. En las de segunda especie el intervalo es finito pero la función se dispara en algún punto, casi siempre en un extremo.

En los dos casos el procedimiento es el mismo. Se reemplaza la parte problemática por una letra, se calcula la integral común, y recién al final se toma el límite. Si ese límite existe y es finito, la integral converge y ese es su valor. Si no, diverge.

Nunca hay que evaluar directamente en el infinito ni en el punto donde la función explota. Escribir la cuenta sin pasar por el límite es un error de método, aunque el número salga bien.

El resultado clave es el mismo corte que en las p-series: la integral de la potencia inversa desde uno hasta infinito converge solo si el exponente supera a uno.

\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x)\,dx

Cuándo se usa

Cuando alguno de los límites de integración es infinito, o cuando la función se dispara dentro del intervalo. Reemplazá esa parte por una letra, integrá normal, y tomá el límite recién al final.

Ejemplo 1

Calcular $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \, dx$ .

Reemplazamos el infinito por una letra. Integramos de $1$ a $b$ .
Calculamos la primitiva. Es $-\frac{1}{x}$ .
Evaluamos entre los límites. Queda $-\frac{1}{b} + 1$ .
Tomamos el límite con $b$ al infinito. El primer término tiende a cero.
Respuesta: $1$

Ejemplo 2

Calcular $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ .

Detectamos el problema. La función se dispara cuando $x$ tiende a cero, así que es impropia de segunda especie.
Reemplazamos el extremo conflictivo por una letra. Integramos de $a$ a $1$ .
Calculamos la primitiva. Es $2\sqrt{x}$ .
Evaluamos. Queda $2 - 2\sqrt{a}$ .
Tomamos el límite con $a$ tendiendo a cero.
Respuesta: $2$

Error típico

No notar que la función explota dentro del intervalo. Si eso pasa, hay que partir la integral en el punto conflictivo y estudiar cada parte.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .