Método

Ejercicios: Integrales impropias

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_{a}^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x)\,dx

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Decidí si ∫1+∞1x3 dx\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{3}}\,dx converge y, si converge, cuánto vale.

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1. Escribimos la definición. ∫1+∞1x3 dx=lim⁡b→+∞∫1bx−3 dx\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{3}}\,dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} x^{-3}\,dx: es de primera especie, porque el intervalo es infinito.

2. Integramos hasta bb. x−2−2∣1b=b−2−1−2\left.\dfrac{x^{-2}}{-2}\right|_{1}^{b} = \dfrac{b^{-2} - 1}{-2}

3. Tomamos el límite. Como 3>13 > 1, el exponente −2-2 es negativo y b−2→0b^{-2} \to 0.

4. Escribimos el resultado. El límite existe y vale 12\dfrac{1}{2}, así que la integral converge. Con exponente menor o igual que 11 divergiría.

Respuesta: converge y vale 12\dfrac{1}{2}

2. Calculá ∫0+∞e−2x dx\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}\,dx.

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1. Escribimos la definición. lim⁡b→+∞∫0be−2x dx\lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-2x}\,dx

2. Integramos hasta bb. −e−2x2∣0b=1−e−2b2\left.-\dfrac{e^{-2x}}{2}\right|_{0}^{b} = \dfrac{1 - e^{-2b}}{2}

3. Tomamos el límite. e−2b→0e^{-2b} \to 0 cuando b→+∞b \to +\infty.

4. Escribimos el resultado. La integral converge y vale 12\dfrac{1}{2}. Es un área infinita en extensión pero finita en valor, porque la exponencial decae muy rápido.

Respuesta: converge y vale 12\dfrac{1}{2}

3. Calculá ∫031x dx\int_{0}^{3} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx.

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1. Vemos por qué es impropia. El integrando no está acotado cerca de x=0x = 0: se dispara. Es de segunda especie, aunque el intervalo sea finito.

2. Escribimos la definición. lim⁡c→0+∫c3x−1/2 dx\lim_{c \to 0^{+}} \int_{c}^{3} x^{-1/2}\,dx

3. Integramos. 2x∣c3=23−2c\left.2\sqrt{x}\right|_{c}^{3} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{c}

4. Tomamos el límite. c→0\sqrt{c} \to 0, así que la integral converge y vale 232 \sqrt{3}. Que la función se dispare no impide que el área sea finita.

Respuesta: converge y vale 232 \sqrt{3}

4. Decidí si ∫2+∞1x dx\int_{2}^{+\infty} \dfrac{1}{x}\,dx converge.

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1. Escribimos la definición. lim⁡b→+∞∫2b1x dx\lim_{b \to +\infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{x}\,dx

2. Integramos hasta bb. ln⁡x∣2b=ln⁡b−ln⁡2\left.\ln x\right|_{2}^{b} = \ln b - \ln 2

3. Tomamos el límite. ln⁡b→+∞\ln b \to +\infty, así que el límite no existe como número.

4. Concluimos y comparamos. La integral diverge. Es el caso frontera: con exponente mayor que 11 converge, con exponente 11 o menor diverge, aunque el integrando también tienda a cero.

Respuesta: diverge

5. Decidí si ∫1+∞1x4 dx\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{4}}\,dx converge y, si converge, cuánto vale.

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1. Escribimos la definición. ∫1+∞1x4 dx=lim⁡b→+∞∫1bx−4 dx\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{4}}\,dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} x^{-4}\,dx: es de primera especie, porque el intervalo es infinito.

2. Integramos hasta bb. x−3−3∣1b=b−3−1−3\left.\dfrac{x^{-3}}{-3}\right|_{1}^{b} = \dfrac{b^{-3} - 1}{-3}

3. Tomamos el límite. Como 4>14 > 1, el exponente −3-3 es negativo y b−3→0b^{-3} \to 0.

4. Escribimos el resultado. El límite existe y vale 13\dfrac{1}{3}, así que la integral converge. Con exponente menor o igual que 11 divergiría.

Respuesta: converge y vale 13\dfrac{1}{3}

6. Calculá ∫0+∞e−7x dx\int_{0}^{+\infty} e^{-7x}\,dx.

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1. Escribimos la definición. lim⁡b→+∞∫0be−7x dx\lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-7x}\,dx

2. Integramos hasta bb. −e−7x7∣0b=1−e−7b7\left.-\dfrac{e^{-7x}}{7}\right|_{0}^{b} = \dfrac{1 - e^{-7b}}{7}

3. Tomamos el límite. e−7b→0e^{-7b} \to 0 cuando b→+∞b \to +\infty.

4. Escribimos el resultado. La integral converge y vale 17\dfrac{1}{7}. Es un área infinita en extensión pero finita en valor, porque la exponencial decae muy rápido.

Respuesta: converge y vale 17\dfrac{1}{7}

7. Calculá ∫011x dx\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx.

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1. Vemos por qué es impropia. El integrando no está acotado cerca de x=0x = 0: se dispara. Es de segunda especie, aunque el intervalo sea finito.

2. Escribimos la definición. lim⁡c→0+∫c1x−1/2 dx\lim_{c \to 0^{+}} \int_{c}^{1} x^{-1/2}\,dx

3. Integramos. 2x∣c1=21−2c\left.2\sqrt{x}\right|_{c}^{1} = 2\sqrt{1} - 2\sqrt{c}

4. Tomamos el límite. c→0\sqrt{c} \to 0, así que la integral converge y vale 22. Que la función se dispare no impide que el área sea finita.

Respuesta: converge y vale 22

8. Decidí si ∫7+∞1x dx\int_{7}^{+\infty} \dfrac{1}{x}\,dx converge.

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1. Escribimos la definición. lim⁡b→+∞∫7b1x dx\lim_{b \to +\infty} \int_{7}^{b} \dfrac{1}{x}\,dx

2. Integramos hasta bb. ln⁡x∣7b=ln⁡b−ln⁡7\left.\ln x\right|_{7}^{b} = \ln b - \ln 7

3. Tomamos el límite. ln⁡b→+∞\ln b \to +\infty, así que el límite no existe como número.

4. Concluimos y comparamos. La integral diverge. Es el caso frontera: con exponente mayor que 11 converge, con exponente 11 o menor diverge, aunque el integrando también tienda a cero.

Respuesta: diverge

9. Decidí si ∫1+∞1x6 dx\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{6}}\,dx converge y, si converge, cuánto vale.

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1. Escribimos la definición. ∫1+∞1x6 dx=lim⁡b→+∞∫1bx−6 dx\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{6}}\,dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} x^{-6}\,dx: es de primera especie, porque el intervalo es infinito.

2. Integramos hasta bb. x−5−5∣1b=b−5−1−5\left.\dfrac{x^{-5}}{-5}\right|_{1}^{b} = \dfrac{b^{-5} - 1}{-5}

3. Tomamos el límite. Como 6>16 > 1, el exponente −5-5 es negativo y b−5→0b^{-5} \to 0.

4. Escribimos el resultado. El límite existe y vale 15\dfrac{1}{5}, así que la integral converge. Con exponente menor o igual que 11 divergiría.

Respuesta: converge y vale 15\dfrac{1}{5}

10. Calculá ∫0+∞e−3x dx\int_{0}^{+\infty} e^{-3x}\,dx.

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1. Escribimos la definición. lim⁡b→+∞∫0be−3x dx\lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-3x}\,dx

2. Integramos hasta bb. −e−3x3∣0b=1−e−3b3\left.-\dfrac{e^{-3x}}{3}\right|_{0}^{b} = \dfrac{1 - e^{-3b}}{3}

3. Tomamos el límite. e−3b→0e^{-3b} \to 0 cuando b→+∞b \to +\infty.

4. Escribimos el resultado. La integral converge y vale 13\dfrac{1}{3}. Es un área infinita en extensión pero finita en valor, porque la exponencial decae muy rápido.

Respuesta: converge y vale 13\dfrac{1}{3}

11. Calculá ∫021x dx\int_{0}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx.

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1. Vemos por qué es impropia. El integrando no está acotado cerca de x=0x = 0: se dispara. Es de segunda especie, aunque el intervalo sea finito.

2. Escribimos la definición. lim⁡c→0+∫c2x−1/2 dx\lim_{c \to 0^{+}} \int_{c}^{2} x^{-1/2}\,dx

3. Integramos. 2x∣c2=22−2c\left.2\sqrt{x}\right|_{c}^{2} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{c}

4. Tomamos el límite. c→0\sqrt{c} \to 0, así que la integral converge y vale 222 \sqrt{2}. Que la función se dispare no impide que el área sea finita.

Respuesta: converge y vale 222 \sqrt{2}

12. Decidí si ∫4+∞1x dx\int_{4}^{+\infty} \dfrac{1}{x}\,dx converge.

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1. Escribimos la definición. lim⁡b→+∞∫4b1x dx\lim_{b \to +\infty} \int_{4}^{b} \dfrac{1}{x}\,dx

2. Integramos hasta bb. ln⁡x∣4b=ln⁡b−ln⁡4\left.\ln x\right|_{4}^{b} = \ln b - \ln 4

3. Tomamos el límite. ln⁡b→+∞\ln b \to +\infty, así que el límite no existe como número.

4. Concluimos y comparamos. La integral diverge. Es el caso frontera: con exponente mayor que 11 converge, con exponente 11 o menor diverge, aunque el integrando también tienda a cero.

Respuesta: diverge

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