Ejercicios: Sustitución trigonométrica

\sqrt{a^{2}-x^{2}} \to x = a\operatorname{sen} t, \quad \sqrt{a^{2}+x^{2}} \to x = a\operatorname{tg} t

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá $\int \dfrac{1}{\sqrt{36 - x^{2}}}\,dx$ con sustitución trigonométrica.

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1. Identificamos el caso. Adentro de la raíz hay una constante al cuadrado menos $x^{2}$ , con $6^{2} = 36$ : corresponde $x = 6\operatorname{sen} t$ .

2. Calculamos $dx$ y la raíz. $dx = 6\cos t\,dt$ y $\sqrt{36 - 36\operatorname{sen}^{2} t} = 6\cos t$ , por la identidad pitagórica.

3. Reemplazamos. $\int \dfrac{6\cos t}{6\cos t}\,dt = \int dt = t + C$

4. Volvemos a la variable original. De $x = 6\operatorname{sen} t$ sale $t = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{x}{6}$ , así que el resultado es $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{x}{6} + C$ .

Respuesta: $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{x}{6} + C$

2. Calculá $\int \dfrac{1}{4 + x^{2}}\,dx$ con sustitución trigonométrica.

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1. Identificamos el caso. Es una suma de cuadrados con $2^{2} = 4$ : corresponde $x = 2\operatorname{tg} t$ .

2. Calculamos $dx$ y el denominador. $dx = \dfrac{2}{\cos^{2} t}\,dt$ y $4 + 4\operatorname{tg}^{2} t = \dfrac{4}{\cos^{2} t}$ .

3. Reemplazamos y simplificamos. $\int \dfrac{2}{4}\,dt = \dfrac{t}{2} + C$

4. Volvemos a $x$ . $t = \operatorname{arc\,tg}\dfrac{x}{2}$ , así que queda $\dfrac{1}{2}\operatorname{arc\,tg}\dfrac{x}{2} + C$ .

Respuesta: $\dfrac{1}{2}\operatorname{arc\,tg}\dfrac{x}{2} + C$

3. Indicá qué sustitución trigonométrica corresponde a cada raíz: $\sqrt{25 - x^{2}}$ , $\sqrt{25 + x^{2}}$ y $\sqrt{x^{2} - 25}$ .

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1. Miramos la primera. Constante al cuadrado menos $x^{2}$ : se usa $x = 5\operatorname{sen} t$ , porque $1 - \operatorname{sen}^{2} t = \cos^{2} t$ y la raíz desaparece.

2. Miramos la segunda. Suma de cuadrados: se usa $x = 5\operatorname{tg} t$ , porque $1 + \operatorname{tg}^{2} t = \dfrac{1}{\cos^{2} t}$ .

3. Miramos la tercera. $x^{2}$ menos la constante: se usa $x = \dfrac{5}{\cos t}$ , porque $\dfrac{1}{\cos^{2} t} - 1 = \operatorname{tg}^{2} t$ .

4. Sacamos el criterio. En los tres casos la elección busca que la identidad pitagórica convierta la raíz en una función trigonométrica sin radicales.

Respuesta: seno, tangente y el inverso del coseno, en ese orden

4. Calculá $\int_{0}^{5} \sqrt{25 - x^{2}}\,dx$ y verificá con geometría.

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1. Elegimos la sustitución. Adentro de la raíz hay una constante al cuadrado menos $x^{2}$ , así que $x = 5\operatorname{sen} t$ , con $dx = 5\cos t\,dt$ .

2. Sacamos la raíz. $\sqrt{25 - 25\operatorname{sen}^{2} t} = 5\sqrt{1 - \operatorname{sen}^{2} t} = 5\cos t$ , por la identidad pitagórica.

3. Cambiamos los límites. $x = 0$ da $\operatorname{sen} t = 0$ , o sea $t = 0$ ; y $x = 5$ da $\operatorname{sen} t = 1$ , o sea $t = \dfrac{\pi}{2}$ .

4. Integramos el coseno al cuadrado. Queda $\int_{0}^{\pi/2} 25\cos^{2} t\,dt$ . Usamos $\cos^{2} t = \dfrac{1 + \cos(2t)}{2}$ , cuya primitiva es $\dfrac{t}{2} + \dfrac{\operatorname{sen}(2t)}{4}$ . Evaluando entre $0$ y $\dfrac{\pi}{2}$ da $\dfrac{\pi}{4}$ .

5. Terminamos y verificamos con geometría. $25 \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{25 \pi}{4}$ . La curva es el cuarto de circunferencia de radio $5$ en el primer cuadrante, cuya área es $\dfrac{\pi \cdot 25}{4}$ : coincide.

Respuesta: $\dfrac{25 \pi}{4}$ , que es el área de un cuarto de círculo de radio $5$

5. Calculá $\int \dfrac{1}{\sqrt{25 - x^{2}}}\,dx$ con sustitución trigonométrica.

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1. Identificamos el caso. Adentro de la raíz hay una constante al cuadrado menos $x^{2}$ , con $5^{2} = 25$ : corresponde $x = 5\operatorname{sen} t$ .

2. Calculamos $dx$ y la raíz. $dx = 5\cos t\,dt$ y $\sqrt{25 - 25\operatorname{sen}^{2} t} = 5\cos t$ , por la identidad pitagórica.

3. Reemplazamos. $\int \dfrac{5\cos t}{5\cos t}\,dt = \int dt = t + C$

4. Volvemos a la variable original. De $x = 5\operatorname{sen} t$ sale $t = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{x}{5}$ , así que el resultado es $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{x}{5} + C$ .

Respuesta: $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{x}{5} + C$

6. Calculá $\int \dfrac{1}{36 + x^{2}}\,dx$ con sustitución trigonométrica.

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1. Identificamos el caso. Es una suma de cuadrados con $6^{2} = 36$ : corresponde $x = 6\operatorname{tg} t$ .

2. Calculamos $dx$ y el denominador. $dx = \dfrac{6}{\cos^{2} t}\,dt$ y $36 + 36\operatorname{tg}^{2} t = \dfrac{36}{\cos^{2} t}$ .

3. Reemplazamos y simplificamos. $\int \dfrac{6}{36}\,dt = \dfrac{t}{6} + C$

4. Volvemos a $x$ . $t = \operatorname{arc\,tg}\dfrac{x}{6}$ , así que queda $\dfrac{1}{6}\operatorname{arc\,tg}\dfrac{x}{6} + C$ .

Respuesta: $\dfrac{1}{6}\operatorname{arc\,tg}\dfrac{x}{6} + C$

7. Indicá qué sustitución trigonométrica corresponde a cada raíz: $\sqrt{9 - x^{2}}$ , $\sqrt{9 + x^{2}}$ y $\sqrt{x^{2} - 9}$ .

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1. Miramos la primera. Constante al cuadrado menos $x^{2}$ : se usa $x = 3\operatorname{sen} t$ , porque $1 - \operatorname{sen}^{2} t = \cos^{2} t$ y la raíz desaparece.

2. Miramos la segunda. Suma de cuadrados: se usa $x = 3\operatorname{tg} t$ , porque $1 + \operatorname{tg}^{2} t = \dfrac{1}{\cos^{2} t}$ .

3. Miramos la tercera. $x^{2}$ menos la constante: se usa $x = \dfrac{3}{\cos t}$ , porque $\dfrac{1}{\cos^{2} t} - 1 = \operatorname{tg}^{2} t$ .

4. Sacamos el criterio. En los tres casos la elección busca que la identidad pitagórica convierta la raíz en una función trigonométrica sin radicales.

Respuesta: seno, tangente y el inverso del coseno, en ese orden

8. Calculá $\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^{2}}\,dx$ y verificá con geometría.

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1. Elegimos la sustitución. Adentro de la raíz hay una constante al cuadrado menos $x^{2}$ , así que $x = 4\operatorname{sen} t$ , con $dx = 4\cos t\,dt$ .

2. Sacamos la raíz. $\sqrt{16 - 16\operatorname{sen}^{2} t} = 4\sqrt{1 - \operatorname{sen}^{2} t} = 4\cos t$ , por la identidad pitagórica.

3. Cambiamos los límites. $x = 0$ da $\operatorname{sen} t = 0$ , o sea $t = 0$ ; y $x = 4$ da $\operatorname{sen} t = 1$ , o sea $t = \dfrac{\pi}{2}$ .

4. Integramos el coseno al cuadrado. Queda $\int_{0}^{\pi/2} 16\cos^{2} t\,dt$ . Usamos $\cos^{2} t = \dfrac{1 + \cos(2t)}{2}$ , cuya primitiva es $\dfrac{t}{2} + \dfrac{\operatorname{sen}(2t)}{4}$ . Evaluando entre $0$ y $\dfrac{\pi}{2}$ da $\dfrac{\pi}{4}$ .

5. Terminamos y verificamos con geometría. $16 \cdot \dfrac{\pi}{4} = 4 \pi$ . La curva es el cuarto de circunferencia de radio $4$ en el primer cuadrante, cuya área es $\dfrac{\pi \cdot 16}{4}$ : coincide.

Respuesta: $4 \pi$ , que es el área de un cuarto de círculo de radio $4$

9. Calculá $\int \dfrac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}\,dx$ con sustitución trigonométrica.

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1. Identificamos el caso. Adentro de la raíz hay una constante al cuadrado menos $x^{2}$ , con $3^{2} = 9$ : corresponde $x = 3\operatorname{sen} t$ .

2. Calculamos $dx$ y la raíz. $dx = 3\cos t\,dt$ y $\sqrt{9 - 9\operatorname{sen}^{2} t} = 3\cos t$ , por la identidad pitagórica.

3. Reemplazamos. $\int \dfrac{3\cos t}{3\cos t}\,dt = \int dt = t + C$

4. Volvemos a la variable original. De $x = 3\operatorname{sen} t$ sale $t = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{x}{3}$ , así que el resultado es $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{x}{3} + C$ .

Respuesta: $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{x}{3} + C$

10. Calculá $\int \dfrac{1}{9 + x^{2}}\,dx$ con sustitución trigonométrica.

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1. Identificamos el caso. Es una suma de cuadrados con $3^{2} = 9$ : corresponde $x = 3\operatorname{tg} t$ .

2. Calculamos $dx$ y el denominador. $dx = \dfrac{3}{\cos^{2} t}\,dt$ y $9 + 9\operatorname{tg}^{2} t = \dfrac{9}{\cos^{2} t}$ .

3. Reemplazamos y simplificamos. $\int \dfrac{3}{9}\,dt = \dfrac{t}{3} + C$

4. Volvemos a $x$ . $t = \operatorname{arc\,tg}\dfrac{x}{3}$ , así que queda $\dfrac{1}{3}\operatorname{arc\,tg}\dfrac{x}{3} + C$ .

Respuesta: $\dfrac{1}{3}\operatorname{arc\,tg}\dfrac{x}{3} + C$

11. Indicá qué sustitución trigonométrica corresponde a cada raíz: $\sqrt{49 - x^{2}}$ , $\sqrt{49 + x^{2}}$ y $\sqrt{x^{2} - 49}$ .

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1. Miramos la primera. Constante al cuadrado menos $x^{2}$ : se usa $x = 7\operatorname{sen} t$ , porque $1 - \operatorname{sen}^{2} t = \cos^{2} t$ y la raíz desaparece.

2. Miramos la segunda. Suma de cuadrados: se usa $x = 7\operatorname{tg} t$ , porque $1 + \operatorname{tg}^{2} t = \dfrac{1}{\cos^{2} t}$ .

3. Miramos la tercera. $x^{2}$ menos la constante: se usa $x = \dfrac{7}{\cos t}$ , porque $\dfrac{1}{\cos^{2} t} - 1 = \operatorname{tg}^{2} t$ .

4. Sacamos el criterio. En los tres casos la elección busca que la identidad pitagórica convierta la raíz en una función trigonométrica sin radicales.

Respuesta: seno, tangente y el inverso del coseno, en ese orden

12. Calculá $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^{2}}\,dx$ y verificá con geometría.

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1. Elegimos la sustitución. Adentro de la raíz hay una constante al cuadrado menos $x^{2}$ , así que $x = 3\operatorname{sen} t$ , con $dx = 3\cos t\,dt$ .

2. Sacamos la raíz. $\sqrt{9 - 9\operatorname{sen}^{2} t} = 3\sqrt{1 - \operatorname{sen}^{2} t} = 3\cos t$ , por la identidad pitagórica.

3. Cambiamos los límites. $x = 0$ da $\operatorname{sen} t = 0$ , o sea $t = 0$ ; y $x = 3$ da $\operatorname{sen} t = 1$ , o sea $t = \dfrac{\pi}{2}$ .

4. Integramos el coseno al cuadrado. Queda $\int_{0}^{\pi/2} 9\cos^{2} t\,dt$ . Usamos $\cos^{2} t = \dfrac{1 + \cos(2t)}{2}$ , cuya primitiva es $\dfrac{t}{2} + \dfrac{\operatorname{sen}(2t)}{4}$ . Evaluando entre $0$ y $\dfrac{\pi}{2}$ da $\dfrac{\pi}{4}$ .

5. Terminamos y verificamos con geometría. $9 \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{9 \pi}{4}$ . La curva es el cuarto de circunferencia de radio $3$ en el primer cuadrante, cuya área es $\dfrac{\pi \cdot 9}{4}$ : coincide.

Respuesta: $\dfrac{9 \pi}{4}$ , que es el área de un cuarto de círculo de radio $3$

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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