Integradores de Integrales

1. Recordamos qué se busca. Una primitiva de $f'$ es una función cuya derivada sea $f'$: se deshace la derivación.

2. Subimos el exponente de cada término. De $3x^{2}$ sale $x^{3}$, y de $-4x$ sale $-2x^{2}$.

3. Verificamos derivando. La derivada de $x^{3} - 2 x^{2}$ es $3 x^{2} - 4 x$, que es $f'$.

4. Agregamos la constante. La primitiva general es $x^{3} - 2 x^{2} + C$, porque cualquier constante desaparece al derivar.

Respuesta: $x^{3} - 2 x^{2} + C$

b)

1. Escribimos la condición. Con la primitiva de a): $f(1) = -1 + C = 5$.

2. Despejamos. $C = 5 - (-1) = 6$.

3. Escribimos la función. $f(x) = x^{3} - 2 x^{2} + 6$.

4. Qué cambió. La primitiva general de a) era una familia infinita de curvas paralelas. El dato elige una sola de ellas: la que pasa por ese punto.

Respuesta: $C = 6$, así que $f(x) = x^{3} - 2 x^{2} + 6$

c)

1. Escribimos la regla. $\displaystyle\int x^{k}\, dx = \dfrac{x^{k+1}}{k+1} + C$.

2. Vemos por qué funciona. Derivando el resultado se baja el exponente y se cancela el denominador: queda $x^{k}$.

3. Marcamos la excepción. No sirve para $k = -1$, porque el denominador se anularía. Ese caso tiene su propia entrada en la tabla: $\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C$.

4. Lo cruzamos con a). En a) se aplicó con $k = 2$ y con $k = 1$, los dos lejos del caso prohibido.

Respuesta: $\displaystyle\int x^{k}\, dx = \dfrac{x^{k+1}}{k+1} + C$, salvo para $k = -1$

d)

1. Separamos la suma. La integral de una suma es la suma de las integrales, así que se parte en dos.

2. Usamos a). La primera parte ya está resuelta: $x^{3} - 2 x^{2}$.

3. Integramos la constante. $\displaystyle\int 7\, dx = 7x$, que es el caso $k = 0$ de la regla de c).

4. Juntamos. $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x + C$. Alcanza con una sola constante para las dos partes.

Respuesta: $x^{3} - 2 x^{2} + 7 x + C$

1. Miramos la parte de adentro. Adentro de la potencia está $x^{2} + 1$.

2. Derivamos esa parte. Su derivada es $2x$, que es exactamente el otro factor del integrando.

3. Nombramos el patrón. Tiene la forma $u' \cdot u^{3}$, que es la que sale de derivar $\dfrac{u^{4}}{4}$ con la regla de la cadena.

4. Por qué se llama casi inmediata. No está en la tabla tal cual, pero se reconoce como una derivada armada: la sustitución solo ordena lo que ya se ve.

Respuesta: el integrando tiene la forma $u' \cdot u^{3}$, con $u = x^{2} + 1$

b)

1. Definimos la sustitución. Por a), $u = x^{2} + 1$, y entonces $du = 2x\, dx$.

2. Reemplazamos todo. El integrando queda $\displaystyle\int u^{3}\, du$: no sobra ni falta nada, que es la señal de que la sustitución era la correcta.

3. Integramos en $u$. $\dfrac{u^{4}}{4} + C$.

4. Volvemos a $x$. $\dfrac{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}{4} + C$. Verificando: al derivar sale $\left(x^{2} + 1\right)^{3} \cdot 2x$, el integrando original.

Respuesta: $\dfrac{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}{4} + C$

c)

1. Damos el criterio. Es el criterio que se usó en a) y en b): se elige como $u$ la parte de adentro de la composición, la que está encapsulada: adentro de una potencia, de una raíz, de un logaritmo o de un seno.

2. Chequeamos la condición. Después hay que verificar que su derivada esté en el integrando, salvo constantes. Si no está, la sustitución no cierra.

3. Probamos una elección mala. Con $u = 2x$ queda $du = 2\, dx$, y el integrando pasa a $\displaystyle\int u\left(\dfrac{u^{2}}{4} + 1\right)^{3} \dfrac{du}{2}$: no simplifica nada.

4. La regla práctica. Si después de sustituir sigue quedando alguna $x$ suelta, la elección estaba mal.

Respuesta: se elige $u = x^{2} + 1$, la parte de adentro, y se verifica que $du$ esté en el integrando

d)

1. Enunciamos lo que vamos a usar. Si $F$ es una primitiva de $g$, entonces $\displaystyle\int_{a}^{b} g = F(b) - F(a)$.

2. Tomamos la primitiva de b). $F(x) = \dfrac{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}{4}$.

3. Evaluamos en los dos extremos. $F(1) = \dfrac{2^{4}}{4} = 4$ y $F(0) = \dfrac{1^{4}}{4} = \dfrac{1}{4}$.

4. Restamos. $4 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{4}$. La constante $C$ no aparece: se cancela en la resta.

Respuesta: $\displaystyle\int_{0}^{1} 2x\left(x^{2} + 1\right)^{3} dx = \dfrac{15}{4}$

1. Recordamos qué hace el método. Por partes cambia una integral por otra. Conviene cuando la nueva es más fácil, así que $u$ tiene que ser lo que se simplifica al derivar.

2. Miramos los dos factores. Al derivar, $x^{2}$ baja de grado; $e^{x}$ no cambia nunca.

3. Elegimos. $u = x^{2}$ y $dv = e^{x} dx$, así que $du = 2x\, dx$ y $v = e^{x}$.

4. Vemos la elección contraria. Con $u = e^{x}$ y $dv = x^{2} dx$ quedaría $v = \dfrac{x^{3}}{3}$ y la integral nueva tendría grado tres: peor que la original.

Respuesta: $u = x^{2}$ y $dv = e^{x} dx$, porque $x^{2}$ baja de grado al derivar

b)

1. Escribimos la fórmula. $\displaystyle\int u\, dv = uv - \int v\, du$.

2. Reemplazamos con a). $\displaystyle\int x^{2} e^{x} dx = x^{2} e^{x} - \int e^{x} \cdot 2x\, dx$.

3. Sacamos la constante. El primer término es $uv = x^{2} e^{x}$, y queda $x^{2} e^{x} - 2\displaystyle\int x e^{x} dx$.

4. Vemos qué se ganó. La integral que queda tiene grado uno en vez de dos. No está resuelta, pero está más cerca.

Respuesta: $uv = x^{2} e^{x}$, y la integral queda $x^{2} e^{x} - 2\displaystyle\int x e^{x} dx$

c)

1. Repetimos el método en la integral de b). Para $\displaystyle\int x e^{x} dx$ tomamos $u = x$ y $dv = e^{x} dx$, con el mismo criterio de a).

2. Aplicamos la fórmula. $\displaystyle\int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x}$.

3. Reemplazamos en b). $x^{2} e^{x} - 2\left(x e^{x} - e^{x}\right)$.

4. Sacamos factor común. $\left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$. Verificando por derivación se recupera $x^{2} e^{x}$.

Respuesta: $\left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$

d)

1. Tomamos la primitiva de c). $F(x) = \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}$.

2. Evaluamos. $F(1) = (1 - 2 + 2)e = e$ y $F(0) = (0 - 0 + 2) \cdot 1 = 2$.

3. Restamos. $e - 2 \approx 0{,}7183$.

4. Verificamos el signo. El integrando $x^{2} e^{x}$ es no negativo en todo $[0, 1]$, y una propiedad de la integral definida dice que la integral de una función no negativa sobre un intervalo bien orientado no puede ser negativa. Como $0{,}7183$ es positivo, el resultado es coherente.

Respuesta: $e - 2 \approx 0{,}7183$

1. Partimos el intervalo. Cuatro subintervalos de ancho $\Delta x = \dfrac{2 - 0}{4} = \dfrac{1}{2}$, con extremos derechos en $\dfrac{1}{2}$, $1$, $\dfrac{3}{2}$ y $2$.

2. Calculamos las alturas. $f(\dfrac{1}{2}) = - \dfrac{3}{4}$, $f(1) = 0$, $f(\dfrac{3}{2}) = \dfrac{5}{4}$ y $f(2) = 3$.

3. Sumamos las áreas con signo. $\left(- \dfrac{3}{4} + 0 + \dfrac{5}{4} + 3\right) \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{4}$.

4. Marcamos lo importante. Las alturas negativas entran restando: la suma de rectángulos aproxima la integral, que es área con signo, no el área geométrica.

Respuesta: la suma de los cuatro rectángulos da $\dfrac{7}{4}$

b)

1. Buscamos una primitiva. $F(x) = \dfrac{x^{3}}{3} - x$.

2. Aplicamos el teorema fundamental. $F(2) = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}$ y $F(0) = 0$.

3. Restamos. La integral vale $\dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667$.

4. Comparamos con a). La suma de rectángulos había dado $\dfrac{7}{4}$, con un error de $\dfrac{13}{12} \approx 1{,}0833$. Con más rectángulos ese error tiende a cero: eso es lo que define la integral.

Respuesta: $\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, dx = \dfrac{2}{3}$

c)

1. Buscamos los ceros. $x^{2} - 1 = 0$ da $x = 1$ y $x = -1$, y solo $1$ cae adentro del intervalo.

2. Estudiamos el signo. $f(0) = -1$ es negativo y $f(2) = 3$ es positivo.

3. Calculamos cada tramo. $\displaystyle\int_{0}^{1} f = - \dfrac{2}{3}$ y $\displaystyle\int_{1}^{2} f = \dfrac{4}{3}$.

4. Vemos qué pasó en b). El tramo de abajo aporta $- \dfrac{2}{3}$, negativo, y por eso la integral de b) dio $\dfrac{2}{3}$, mucho menos que el área que realmente encierra la curva.

Respuesta: queda por debajo en $(0, 1)$, y ese tramo aporta $- \dfrac{2}{3}$

d)

1. Distinguimos área de integral. El área es una cantidad positiva: los tramos de abajo cuentan en positivo, no restando.

2. Partimos en el cero de c). $\text{Área} = \left|\displaystyle\int_{0}^{1} f\right| + \displaystyle\int_{1}^{2} f$.

3. Reemplazamos con c). $\left|- \dfrac{2}{3}\right| + \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{3} = 2$.

4. Contrastamos con b). La integral daba $\dfrac{2}{3}$ y el área da $2$. No son lo mismo, y confundirlos es el error central de este tema.

Respuesta: el área vale $2$

1. Elegimos la sustitución. Lo que está encapsulado es el logaritmo, así que $u = \ln(x)$.

2. Calculamos el diferencial. $du = \dfrac{1}{x}\, dx$, y ese $\dfrac{1}{x}$ es justo el otro factor del integrando.

3. Reemplazamos e integramos. $\displaystyle\int u\, du = \dfrac{u^{2}}{2} + C$.

4. Volvemos a $x$. $\dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{2} + C$. Derivando se recupera $\dfrac{\ln(x)}{x}$.

Respuesta: $\dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{2} + C$

b)

1. Cambiamos los límites junto con la variable. Con $u = \ln(x)$ de a): cuando $x = 1$, $u = 0$; cuando $x = e$, $u = 1$.

2. Reescribimos la integral entera en $u$. $\displaystyle\int_{0}^{1} u\, du$. Ya no queda nada de $x$, ni en el integrando ni en los límites.

3. Evaluamos. $\left[\dfrac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}$.

4. Marcamos la ventaja. Cambiando los límites no hace falta volver a $x$. El error típico es evaluar la primitiva en $u$ usando los límites viejos.

Respuesta: $\displaystyle\int_{1}^{e} f(x)\, dx = \dfrac{1}{2}$

c)

1. Escribimos la impropia como límite. $\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{2}}\, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \dfrac{1}{x^{2}}\, dx$.

2. Resolvemos la definida. $\left[-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^{b} = 1 - \dfrac{1}{b}$.

3. Tomamos el límite. Cuando $b \to +\infty$, $\dfrac{1}{b} \to 0$, así que la integral vale $1$: converge.

4. Marcamos el contraste. Con $\dfrac{1}{x}$ en vez de $\dfrac{1}{x^{2}}$ el resultado sería $\ln(b)$, que se va a infinito. El exponente decide, y el borde está justo en $1$.

Respuesta: converge y vale $1$

d)

1. Escribimos la fórmula de discos. $V = \pi \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \left(g(x)\right)^{2} dx$: cada rebanada es un círculo de radio $g(x)$.

2. Reconocemos la integral. Es exactamente la de c), multiplicada por $\pi$.

3. Reemplazamos. $V = \pi \cdot 1 = \pi \approx 3{,}1416$.

4. Miramos lo que dice. El sólido es infinitamente largo y tiene volumen finito. No es una contradicción: el radio se achica lo bastante rápido como para que la suma de los discos converja.

Respuesta: $V = \pi \approx 3{,}1416$

1. Igualamos. $x^{2} = x$ da $x^{2} - x = 0$.

2. Factorizamos. $x(x - 1) = 0$.

3. Leemos las soluciones. $x = 0$ y $x = 1$.

4. Vemos cuál va arriba. En el medio, con $x = \dfrac{1}{2}$: $g$ vale $\dfrac{1}{2}$ y $f$ vale $\dfrac{1}{4}$. Entre los cortes, la recta está por encima de la parábola.

Respuesta: se cruzan en $x = 0$ y en $x = 1$

b)

1. Escribimos la fórmula. El área entre dos curvas es la integral de la de arriba menos la de abajo, entre los cortes.

2. Usamos a). Los límites son $0$ y $1$, y arriba va $g$.

3. Armamos la integral. $\displaystyle\int_{0}^{1} (x - x^{2})\, dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$.

4. Evaluamos. $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$. Como se restó bien, el resultado es positivo sin necesidad de tomar módulo.

Respuesta: el área entre las curvas vale $\dfrac{1}{6}$

c)

1. Verificamos el signo. $g$ es positiva en todo $(0, 1)$, así que el área coincide con la integral.

2. Integramos. $\displaystyle\int_{0}^{1} x\, dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}$.

3. Recuperamos b). El área bajo $f$ en el mismo tramo es $\dfrac{1}{3}$, y $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$, el área entre curvas de b).

4. Lo que muestra. El área entre dos curvas es la resta de las dos áreas bajo cada una, siempre que las dos estén por encima del eje.

Respuesta: el área bajo $g$ vale $\dfrac{1}{2}$

d)

1. Escribimos la fórmula. El valor medio es $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^{b} f$.

2. Usamos el área bajo $f$ de c). $\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\, dx = \dfrac{1}{3}$.

3. Dividimos por la longitud. El intervalo mide $1$, así que el valor medio es $\dfrac{1}{3}$.

4. Qué significa. Es la altura del rectángulo de base $1$ que tendría la misma área que la región bajo la curva. Notar que $\dfrac{1}{3}$ está entre el mínimo $0$ y el máximo $1$ de $f$ en el intervalo, como tiene que estar.

Respuesta: el valor medio de $f$ es $\dfrac{1}{3}$

1. Factorizamos el denominador. $x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$, con raíces $2$ y $-1$.

2. Planteamos la descomposición. $\dfrac{5x - 1}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1}$.

3. Igualamos numeradores. Multiplicando todo por $(x - 2)(x + 1)$: $A(x + 1) + B(x - 2) = 5x - 1$.

4. Evaluamos en las raíces. Con $x = 2$: $3A = 9$, o sea $A = 3$. Con $x = -1$: $-3B = -6$, o sea $B = 2$.

Respuesta: $A = 3$ y $B = 2$

b)

1. Separamos la integral. $\displaystyle\int \dfrac{3}{x - 2}\, dx + \int \dfrac{2}{x + 1}\, dx$.

2. Integramos cada sumando. Cada uno es un logaritmo: $3\ln|x - 2|$ y $2\ln|x + 1|$.

3. Juntamos. $3\ln|x - 2| + 2\ln|x + 1| + C$.

4. Verificamos. Derivando se recuperan las dos fracciones de a), y sumándolas vuelve el integrando original.

Respuesta: $3\ln|x - 2| + 2\ln|x + 1| + C$

c)

1. Aislamos el primer término de b). El sumando en $A$ de a) es $\dfrac{3}{x - 2}$, así que integramos aparte $\displaystyle\int_{3}^{5} \dfrac{3}{x - 2}\, dx$.

2. Usamos la primitiva de b). Ese término integra a $3\ln|x - 2|$, evaluada entre $3$ y $5$.

3. Reemplazamos. $3\ln|5 - 2| - 3\ln|3 - 2| = 3\ln 3 - 3\ln 1 = 3\ln 3 \approx 3{,}2958$.

4. Identificamos la entrada de tabla. Es $\displaystyle\int \dfrac{1}{x - a}\, dx = \ln|x - a| + C$, con módulo porque la fracción también vale a la izquierda del polo.

Respuesta: $\displaystyle\int_{3}^{5} \dfrac{3}{x - 2}\, dx = 3\ln 3 \approx 3{,}2958$

d)

1. Chequeamos que no hay polos adentro. Los polos son $2$ y $-1$, por a), y el intervalo es $[3, 5]$: los dos quedan afuera. Sin esto el cálculo no tendría sentido.

2. Sacamos el módulo. En todo el intervalo, $x - 2$ y $x + 1$ son positivos, así que los módulos de b) se pueden sacar.

3. Evaluamos la primitiva. $\left[3\ln(x - 2) + 2\ln(x + 1)\right]_{3}^{5} = (3\ln 3 + 2\ln 6) - (3\ln 1 + 2\ln 4)$.

4. Simplificamos. $\ln 1 = 0$, así que queda $3\ln 3 + 2\ln\dfrac{6}{4} \approx 4{,}1068$.

Respuesta: la integral vale $\approx 4{,}1068$

1. Vemos por qué no sirve lo de siempre. Adentro de la raíz está $1 - x^{2}$, y su derivada es $-2x$, que no aparece en el integrando. La sustitución algebraica no cierra.

2. Reconocemos la forma. $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ pide una sustitución trigonométrica, porque la identidad $1 - \operatorname{sen}^{2} = \cos^{2}$ hace desaparecer la raíz.

3. Elegimos. $x = \operatorname{sen}(\theta)$, con $\theta$ entre $-\dfrac{\pi}{2}$ y $\dfrac{\pi}{2}$ para que la correspondencia sea uno a uno.

4. Anotamos el diferencial. $dx = \cos(\theta)\, d\theta$, y $\sqrt{1 - x^{2}} = \cos(\theta)$, que es positivo en ese rango.

Respuesta: $x = \operatorname{sen}(\theta)$, porque convierte $\sqrt{1 - x^{2}}$ en $\cos(\theta)$

b)

1. Reemplazamos. Con la sustitución de a): $\displaystyle\int \cos(\theta) \cdot \cos(\theta)\, d\theta = \int \cos^{2}(\theta)\, d\theta$.

2. Bajamos el cuadrado. Con $\cos^{2}(\theta) = \dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ queda $\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\operatorname{sen}(2\theta)}{4} + C$.

3. Volvemos a $x$. $\theta = \operatorname{arcsen}(x)$, y $\operatorname{sen}(2\theta) = 2\operatorname{sen}(\theta)\cos(\theta) = 2x\sqrt{1 - x^{2}}$.

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{\operatorname{arcsen}(x)}{2} + \dfrac{x\sqrt{1 - x^{2}}}{2} + C$.

Respuesta: $\dfrac{\operatorname{arcsen}(x)}{2} + \dfrac{x\sqrt{1 - x^{2}}}{2} + C$

c)

1. Separamos. $\displaystyle\int h(x)\, dx + \int 3\, dx$.

2. Usamos b). La primera ya está resuelta.

3. Integramos la constante. $\displaystyle\int 3\, dx = 3x$.

4. Juntamos. $\dfrac{\operatorname{arcsen}(x)}{2} + \dfrac{x\sqrt{1 - x^{2}}}{2} + 3x + C$. Sumar una constante al integrando le suma una recta a la primitiva, no una constante.

Respuesta: $\dfrac{\operatorname{arcsen}(x)}{2} + \dfrac{x\sqrt{1 - x^{2}}}{2} + 3x + C$

d)

1. Escribimos la fórmula. $L = \displaystyle\int_{0}^{3} \sqrt{1 + \left(p'(x)\right)^{2}}\, dx$.

2. Derivamos. $p'(x) = \sqrt{x}$, así que $\left(p'(x)\right)^{2} = x$.

3. Armamos el integrando. $\sqrt{1 + x}$, que es una raíz de algo lineal: casi inmediata, sin necesidad de la sustitución de a).

4. Integramos y evaluamos. $\left[\dfrac{2}{3}(1 + x)^{3/2}\right]_{0}^{3} = \dfrac{2}{3}(8 - 1) = \dfrac{14}{3} \approx 4{,}6667$.

Respuesta: $L = \dfrac{14}{3} \approx 4{,}6667$

1. La escribimos como límite. $\lim_{b \to +\infty} \displaystyle\int_{1}^{b} \dfrac{1}{x^{2}}\, dx$: una impropia no es una integral común con el símbolo de infinito adentro.

2. Resolvemos la definida. Una primitiva es $-\dfrac{1}{x}$, así que $\left[-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^{b} = 1 - \dfrac{1}{b}$.

3. Tomamos el límite. Da $1$: la integral converge.

4. Qué significa. La región bajo la curva es infinitamente larga y tiene área finita.

Respuesta: converge y vale $1$

b)

1. Escribimos la fórmula de discos. $V = \pi \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \left(f(x)\right)^{2} dx = \pi \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{4}}\, dx$.

2. Notamos el cambio. El exponente pasó de $2$ a $4$: elevar al cuadrado el radio hace que la impropia converja todavía más rápido que la de a).

3. Resolvemos. $\left[-\dfrac{1}{3x^{3}}\right]_{1}^{b} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3b^{3}}$, y el límite es $\dfrac{1}{3}$.

4. Multiplicamos por $\pi$. $V = \dfrac{\pi}{3} \approx 1{,}0472$.

Respuesta: $V = \dfrac{\pi}{3} \approx 1{,}0472$

c)

1. Escribimos la fórmula. $\dfrac{1}{3 - 1} \displaystyle\int_{1}^{3} \dfrac{1}{x^{2}}\, dx$.

2. Resolvemos la integral. $\left[-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^{3} = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

3. Dividimos por la longitud. El intervalo mide $2$, así que el valor medio es $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$.

4. Lo controlamos. En el intervalo, $f$ va de $1$ hasta $\dfrac{1}{9}$, y $\dfrac{1}{3}$ queda entre esos dos valores, como corresponde a un promedio.

Respuesta: el valor medio es $\dfrac{1}{3}$

d)

1. Escribimos la primitiva general. En a) y en c) se usó $-\dfrac{1}{x}$, pero la primitiva general es $-\dfrac{1}{x} + C$.

2. Vemos qué pasa al evaluar. $\left(F(b) + C\right) - \left(F(a) + C\right) = F(b) - F(a)$: la constante se cancela sola.

3. Sacamos la regla. En una integral definida la constante nunca importa, así que se puede trabajar con cualquier primitiva.

4. Marcamos dónde sí importa. En una indefinida hay que escribirla, y cuando hay una condición inicial es lo único que distingue la solución buscada de todas las demás.

Respuesta: se cancela al restar $F(b) - F(a)$, así que en una definida no interviene

1. Notamos que hay un solo factor. El truco es ver el integrando como $\ln(x) \cdot 1$: el segundo factor es el $dx$.

2. Aplicamos la fórmula. Con $u = \ln(x)$ y $dv = dx$: $du = \dfrac{1}{x}\, dx$ y $v = x$.

3. Reemplazamos. $x\ln(x) - \displaystyle\int x \cdot \dfrac{1}{x}\, dx = x\ln(x) - \int 1\, dx$.

4. Terminamos. $x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right) + C$. Derivando vuelve $\ln(x)$.

Respuesta: $x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right) + C$

b)

1. Damos el criterio. Es el que se aplicó en a): $u$ tiene que ser lo que se simplifica al derivar, y $dv$ lo que se sabe integrar.

2. Miramos el logaritmo. $\ln(x)$ no está en la tabla como primitiva, así que no puede ir en $dv$. Pero su derivada es $\dfrac{1}{x}$, una potencia simple: es candidato natural a $u$.

3. Probamos la elección contraria. Con $u = 1$ queda $du = 0$ y la fórmula no dice nada. No es que dé mal: no avanza.

4. Nombramos la regla práctica. Logaritmos e inversas trigonométricas casi siempre van en $u$, porque al derivar se vuelven algebraicas.

Respuesta: $u = \ln(x)$ porque su derivada es algebraica, y $dv = dx$ porque es lo único integrable

c)

1. Comparamos con a). Parece la misma integral pero no lo es: acá el logaritmo está dividido por $x$, y eso cambia todo.

2. Buscamos el patrón. $\dfrac{1}{x}$ es la derivada de $\ln(x)$, así que el integrando tiene la forma $u' \cdot u$.

3. Aplicamos el patrón. $\displaystyle\int u\, du = \dfrac{u^{2}}{2}$, con $u = \ln(x)$.

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{2} + C$. No hizo falta partes: reconocer el patrón ahorra todo el método.

Respuesta: $\dfrac{\left(\ln(x)\right)^{2}}{2} + C$

d)

1. Escribimos la fórmula. $L = \displaystyle\int_{1}^{2} \sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^{2}}\, dx$.

2. Derivamos. $f'(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{2 x}$, o sea $\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2x}$.

3. Armamos el radicando y lo reconocemos. $1 + \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2x}\right)^{2} = \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2x}\right)^{2}$: es un cuadrado perfecto, así que la raíz desaparece.

4. Integramos y evaluamos. $\displaystyle\int_{1}^{2} \left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2x}\right) dx = \left[\dfrac{x^{2}}{4} + \dfrac{\ln(x)}{2}\right]_{1}^{2} = \dfrac{\ln{\left(2 \right)}}{2} + \dfrac{3}{4} \approx 1{,}0966$, usando el logaritmo que ya apareció en a) y en c).

Respuesta: $L = \dfrac{\ln{\left(2 \right)}}{2} + \dfrac{3}{4} \approx 1{,}0966$

1. Igualamos. $x^{3} = x$ da $x^{3} - x = 0$.

2. Factorizamos. $x(x - 1)(x + 1) = 0$.

3. Leemos las soluciones. $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$: son tres, no dos.

4. Marcamos la consecuencia. Con tres cruces hay dos regiones encerradas, y en cada una puede cambiar cuál curva va arriba. Integrar de $-1$ a $1$ de una sola vez sería un error.

Respuesta: se cruzan en $x = -1$, $x = 0$ y $x = 1$

b)

1. Probamos en la región izquierda. En $x = -\dfrac{1}{2}$: $f$ vale $- \dfrac{1}{8}$ y $g$ vale $- \dfrac{1}{2}$.

2. Concluimos la izquierda. $- \dfrac{1}{8}$ es mayor que $- \dfrac{1}{2}$, así que ahí la cúbica está arriba.

3. Probamos en la región derecha. En $x = \dfrac{1}{2}$: $f$ vale $\dfrac{1}{8}$ y $g$ vale $\dfrac{1}{2}$, así que ahí la recta está arriba.

4. Sacamos la conclusión. Se dan vuelta en $x = 0$. Si se integrara $f - g$ de $-1$ a $1$ los dos aportes se cancelarían y daría cero, que no es el área.

Respuesta: en $(-1, 0)$ está arriba $f$, y en $(0, 1)$ está arriba $g$

c)

1. Partimos en dos integrales. Usando b), en cada región se resta la de abajo a la de arriba.

2. Región izquierda. $\displaystyle\int_{-1}^{0} (x^{3} - x)\, dx = \dfrac{1}{4}$.

3. Región derecha. $\displaystyle\int_{0}^{1} (x - x^{3})\, dx = \dfrac{1}{4}$.

4. Sumamos. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$. Las dos regiones dan lo mismo porque las dos funciones son impares y el dibujo es simétrico respecto del origen.

Respuesta: el área total vale $\dfrac{1}{2}$

d)

1. Partimos el intervalo. Cuatro subintervalos de ancho $\dfrac{1}{4}$, con extremos derechos en $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$ y $1$.

2. Calculamos las alturas. $f(\dfrac{1}{4}) = \dfrac{1}{64}$, $f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{1}{8}$, $f(\dfrac{3}{4}) = \dfrac{27}{64}$ y $f(1) = 1$.

3. Sumamos. El total es $\dfrac{25}{64} \approx 0{,}3906$.

4. Comparamos con el exacto. $\displaystyle\int_{0}^{1} x^{3}\, dx = \dfrac{1}{4}$. La aproximación se pasa, porque con la función creciente el extremo derecho da siempre la altura más grande del subintervalo.

Respuesta: la suma da $\dfrac{25}{64}$ contra el valor exacto $\dfrac{1}{4}$

1. Primera aplicación. Con $u = e^{x}$ y $dv = \operatorname{sen}(x)\, dx$: $\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\, dx = -e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\cos(x)\, dx$.

2. Segunda aplicación. En la nueva, con el mismo criterio: $\displaystyle\int e^{x}\cos(x)\, dx = e^{x}\operatorname{sen}(x) - \int e^{x}\operatorname{sen}(x)\, dx$.