Sustitución en integrales definidas

Cuando se hace una sustitución en una integral definida hay dos caminos, y conviene elegir uno y ser consistente.

El primero es cambiar los límites de integración. Al sustituir, los extremos también se transforman: se reemplaza cada uno en la sustitución elegida y se obtienen los nuevos. Con eso se integra y se evalúa directamente en la variable nueva, sin volver atrás.

El segundo es dejar los límites en la variable original, resolver la integral indefinida completa, volver a la variable de partida y recién ahí evaluar.

El primero es más corto y menos propenso a errores, y es el que conviene. El segundo obliga a un paso extra de deshacer la sustitución.

Lo que no se puede hacer es mezclar: cambiar la variable y evaluar con los límites viejos. Ese es el error más frecuente del tema y da resultados que no significan nada.

Una forma de acordarse es escribir los límites con su variable al costado del signo de la integral. Si se ve escrito, es difícil confundirse.

al cambiar la variable, cambian los límites

Cuándo se usa

Cuando hacés una sustitución en una integral definida. Lo más limpio es transformar también los límites y evaluar en la variable nueva. Nunca uses los límites viejos con la variable nueva.

Ejemplo 1

Calcular la integral de $2x(x^{2} + 1)^{3}$ entre $0$ y $2$ , cambiando los límites.

Elegimos la sustitución. $u = x^{2} + 1$ , con $du = 2x \, dx$ .
Convertimos los dos límites con la misma fórmula. Si $x = 0$ entonces $u = 1$ . Si $x = 2$ entonces $u = 5$ .
Reescribimos la integral entera en u. Queda la integral de $u^{3}$ entre $1$ y $5$ .
Hallamos la primitiva y evaluamos. $u^{4}/4$ , con $625/4$ arriba y $1/4$ abajo.
Restamos. $625/4 - 1/4 = 624/4 = 156$
Respuesta: la integral vale $156$

Ejemplo 2

Calcular la misma integral sin cambiar los límites, para comparar.

Resolvemos la indefinida. Con $u = x^{2} + 1$ queda $u^{4}/4$ .
Volvemos a x antes de evaluar. $(x^{2} + 1)^{4} / 4$
Ahora sí evaluamos entre los límites originales. En $x = 2$ : $5^{4}/4 = 625/4$ . En $x = 0$ : $1^{4}/4 = 1/4$ .
Restamos. $625/4 - 1/4 = 156$ . Mismo resultado.
Respuesta: los dos caminos dan $156$

Error típico

Cambiar la variable pero dejar los límites originales. Es el error más común del subtema y da un número equivocado sin ninguna señal de alarma.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

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