Ejercicios: Sustitución en integrales definidas

al cambiar la variable, cambian los límites

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá $\int_{0}^{1} 2x(x^{2} + 6)^{3}\,dx$ cambiando los límites.

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1. Elegimos la sustitución. $u = x^{2} + 6$ , con $du = 2x\,dx$ .

2. Transformamos los límites. Cuando $x = 0$ , $u = 6$ ; cuando $x = 1$ , $u = 7$ .

3. Reescribimos la integral entera en $u$ . $\int_{6}^{7} u^{3}\,du = \left.\dfrac{u^{4}}{4}\right|_{6}^{7}$

4. Evaluamos. $\dfrac{2401 - 1296}{4} = \dfrac{1105}{4}$ . Cambiando los límites no hace falta volver a la variable original.

Respuesta: $\dfrac{1105}{4}$

2. Calculá $\int_{0}^{1} 7xe^{x^{2}}\,dx$ resolviendo primero la indefinida.

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1. Resolvemos la indefinida. $u = x^{2}$ da $du = 2x\,dx$ , así que $\int 7xe^{x^{2}}\,dx = \dfrac{7}{2}e^{x^{2}} + C$ .

2. Volvemos a la variable original. Este camino exige deshacer la sustitución antes de evaluar, porque los límites están en términos de $x$ .

3. Aplicamos Barrow. $\left.\dfrac{7}{2}e^{x^{2}}\right|_{0}^{1} = \dfrac{7}{2}e - \dfrac{7}{2}$

4. Escribimos el resultado. $- \dfrac{7}{2} + \dfrac{7 e}{2} \approx 6{,}014$ . Los dos caminos son válidos, pero hay que elegir uno y ser consistente: evaluar en $u$ con límites de $x$ es el error clásico.

Respuesta: $- \dfrac{7}{2} + \dfrac{7 e}{2}$

3. Calculá $\int_{-4}^{4} x^{5}\,dx$ y explicá el resultado con la simetría.

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1. Calculamos con Barrow. Una primitiva es $\dfrac{x^{6}}{6}$ , y el exponente $6$ es par.

2. Evaluamos. $\dfrac{4096}{6} - \dfrac{4096}{6} = 0$

3. Interpretamos con la paridad. $x^{5}$ es una función impar, así que lo que aporta a la izquierda del cero es exactamente lo opuesto de lo que aporta a la derecha.

4. Escribimos la regla general. La integral de una función impar en un intervalo simétrico siempre da cero. Conviene chequear la simetría antes de integrar: a veces ahorra toda la cuenta.

Respuesta: $0$ , porque el integrando es impar y el intervalo es simétrico

4. Calculá $\int_{1}^{e^{5}} \dfrac{\ln x}{x}\,dx$ cambiando los límites.

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1. Elegimos la sustitución. Adentro hay un logaritmo y afuera está $\dfrac{1}{x}$ , que es su derivada: $u = \ln x$ , con $du = \dfrac{dx}{x}$ .

2. Transformamos los límites. Cuando $x = 1$ , $u = \ln 1 = 0$ ; cuando $x = e^{5}$ , $u = \ln e^{5} = 5$ .

3. Reescribimos la integral entera en $u$ . $\int_{0}^{5} u\,du = \left.\dfrac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{5}$

4. Evaluamos. $\dfrac{25}{2} - 0 = \dfrac{25}{2}$ . Con los límites ya cambiados no hace falta volver a la variable original.

Respuesta: $\dfrac{25}{2}$

5. Calculá $\int_{0}^{1} 2x(x^{2} + 3)^{3}\,dx$ cambiando los límites.

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1. Elegimos la sustitución. $u = x^{2} + 3$ , con $du = 2x\,dx$ .

2. Transformamos los límites. Cuando $x = 0$ , $u = 3$ ; cuando $x = 1$ , $u = 4$ .

3. Reescribimos la integral entera en $u$ . $\int_{3}^{4} u^{3}\,du = \left.\dfrac{u^{4}}{4}\right|_{3}^{4}$

4. Evaluamos. $\dfrac{256 - 81}{4} = \dfrac{175}{4}$ . Cambiando los límites no hace falta volver a la variable original.

Respuesta: $\dfrac{175}{4}$

6. Calculá $\int_{0}^{1} 6xe^{x^{2}}\,dx$ resolviendo primero la indefinida.

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1. Resolvemos la indefinida. $u = x^{2}$ da $du = 2x\,dx$ , así que $\int 6xe^{x^{2}}\,dx = 3e^{x^{2}} + C$ .

2. Volvemos a la variable original. Este camino exige deshacer la sustitución antes de evaluar, porque los límites están en términos de $x$ .

3. Aplicamos Barrow. $\left.3e^{x^{2}}\right|_{0}^{1} = 3e - 3$

4. Escribimos el resultado. $-3 + 3 e \approx 5{,}1548$ . Los dos caminos son válidos, pero hay que elegir uno y ser consistente: evaluar en $u$ con límites de $x$ es el error clásico.

Respuesta: $-3 + 3 e$

7. Calculá $\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx$ y explicá el resultado con la simetría.

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1. Calculamos con Barrow. Una primitiva es $\dfrac{x^{4}}{4}$ , y el exponente $4$ es par.

2. Evaluamos. $\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$

3. Interpretamos con la paridad. $x^{3}$ es una función impar, así que lo que aporta a la izquierda del cero es exactamente lo opuesto de lo que aporta a la derecha.

4. Escribimos la regla general. La integral de una función impar en un intervalo simétrico siempre da cero. Conviene chequear la simetría antes de integrar: a veces ahorra toda la cuenta.

Respuesta: $0$ , porque el integrando es impar y el intervalo es simétrico

8. Calculá $\int_{1}^{e^{2}} \dfrac{\ln x}{x}\,dx$ cambiando los límites.

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1. Elegimos la sustitución. Adentro hay un logaritmo y afuera está $\dfrac{1}{x}$ , que es su derivada: $u = \ln x$ , con $du = \dfrac{dx}{x}$ .

2. Transformamos los límites. Cuando $x = 1$ , $u = \ln 1 = 0$ ; cuando $x = e^{2}$ , $u = \ln e^{2} = 2$ .

3. Reescribimos la integral entera en $u$ . $\int_{0}^{2} u\,du = \left.\dfrac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{2}$

4. Evaluamos. $\dfrac{4}{2} - 0 = 2$ . Con los límites ya cambiados no hace falta volver a la variable original.

Respuesta: $2$

9. Calculá $\int_{0}^{1} 2x(x^{2} + 5)^{3}\,dx$ cambiando los límites.

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1. Elegimos la sustitución. $u = x^{2} + 5$ , con $du = 2x\,dx$ .

2. Transformamos los límites. Cuando $x = 0$ , $u = 5$ ; cuando $x = 1$ , $u = 6$ .

3. Reescribimos la integral entera en $u$ . $\int_{5}^{6} u^{3}\,du = \left.\dfrac{u^{4}}{4}\right|_{5}^{6}$

4. Evaluamos. $\dfrac{1296 - 625}{4} = \dfrac{671}{4}$ . Cambiando los límites no hace falta volver a la variable original.

Respuesta: $\dfrac{671}{4}$

10. Calculá $\int_{0}^{1} 4xe^{x^{2}}\,dx$ resolviendo primero la indefinida.

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1. Resolvemos la indefinida. $u = x^{2}$ da $du = 2x\,dx$ , así que $\int 4xe^{x^{2}}\,dx = 2e^{x^{2}} + C$ .

2. Volvemos a la variable original. Este camino exige deshacer la sustitución antes de evaluar, porque los límites están en términos de $x$ .

3. Aplicamos Barrow. $\left.2e^{x^{2}}\right|_{0}^{1} = 2e - 2$

4. Escribimos el resultado. $-2 + 2 e \approx 3{,}4366$ . Los dos caminos son válidos, pero hay que elegir uno y ser consistente: evaluar en $u$ con límites de $x$ es el error clásico.

Respuesta: $-2 + 2 e$

11. Calculá $\int_{-2}^{2} x^{7}\,dx$ y explicá el resultado con la simetría.

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1. Calculamos con Barrow. Una primitiva es $\dfrac{x^{8}}{8}$ , y el exponente $8$ es par.

2. Evaluamos. $\dfrac{256}{8} - \dfrac{256}{8} = 0$

3. Interpretamos con la paridad. $x^{7}$ es una función impar, así que lo que aporta a la izquierda del cero es exactamente lo opuesto de lo que aporta a la derecha.

4. Escribimos la regla general. La integral de una función impar en un intervalo simétrico siempre da cero. Conviene chequear la simetría antes de integrar: a veces ahorra toda la cuenta.

Respuesta: $0$ , porque el integrando es impar y el intervalo es simétrico

12. Calculá $\int_{1}^{e^{6}} \dfrac{\ln x}{x}\,dx$ cambiando los límites.

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1. Elegimos la sustitución. Adentro hay un logaritmo y afuera está $\dfrac{1}{x}$ , que es su derivada: $u = \ln x$ , con $du = \dfrac{dx}{x}$ .

2. Transformamos los límites. Cuando $x = 1$ , $u = \ln 1 = 0$ ; cuando $x = e^{6}$ , $u = \ln e^{6} = 6$ .

3. Reescribimos la integral entera en $u$ . $\int_{0}^{6} u\,du = \left.\dfrac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{6}$

4. Evaluamos. $\dfrac{36}{2} - 0 = 18$ . Con los límites ya cambiados no hace falta volver a la variable original.

Respuesta: $18$

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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