Ejercicios: Propiedades de la integral definida

de a hasta

b =

de a hasta

c +

de c hasta b

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Sabiendo que $\int_{0}^{3} f = 5$ y $\int_{3}^{6} f = 8$ , calculá $\int_{0}^{6} f$ y $\int_{6}^{0} f$ .

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1. Usamos la propiedad de partir el intervalo. $\int_{0}^{6} f = \int_{0}^{3} f + \int_{3}^{6} f$ , porque $3$ está entre los otros dos.

2. Sumamos. $5 + 8 = 13$

3. Usamos la propiedad de invertir los límites. Cambiar el orden de los extremos cambia el signo del resultado.

4. Escribimos la segunda. $\int_{6}^{0} f = -13$ . Tiene sentido: recorrer el intervalo al revés da el mismo valor con signo opuesto.

Respuesta: $\int_{0}^{6} f = 13$ y $\int_{6}^{0} f = -13$

2. Sabiendo que $\int_{2}^{6} f = 4$ y $\int_{2}^{6} g = 6$ , calculá $\int_{2}^{6} (3f - g)$ .

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1. Usamos la propiedad de la suma y la resta. La integral de una resta es la resta de las integrales.

2. Sacamos la constante. $\int 3f = 3\int f$ : los números que multiplican salen afuera.

3. Reemplazamos los datos. $3 \cdot 4 - 6 = 12 - 6$

4. Calculamos. $= 6$ . No hizo falta conocer las funciones, solo sus integrales.

Respuesta: $6$

3. Calculá $\int_{1}^{1} \left(x^{3} + e^{x}\right)\,dx$ y explicá por qué.

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1. Miramos los límites. Los dos extremos son iguales: $1$ y $1$ .

2. Aplicamos Barrow. $F(1) - F(1) = 0$ , sea cual sea la primitiva.

3. Interpretamos geométricamente. El intervalo tiene longitud cero, así que la región bajo la curva no tiene ancho: el área es cero.

4. Sacamos la regla general. $\int_{a}^{a} f = 0$ para cualquier función integrable, sin importar cuán complicada sea. Conviene mirar los límites antes de ponerse a integrar.

Respuesta: $0$

4. Sabiendo que $1 \leq f(x) \leq 5$ en $[0, 2]$ , acotá $\int_{0}^{2} f$ .

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1. Usamos la monotonía de la integral. Si una función es menor o igual que otra en todo el intervalo, su integral también lo es.

2. Integramos las tres partes. $\int_{0}^{2} 1\,dx \leq \int_{0}^{2} f \leq \int_{0}^{2} 5\,dx$

3. Calculamos las dos constantes. La integral de una constante es la constante por la longitud del intervalo: $1 \cdot 2 = 2$ y $5 \cdot 2 = 10$ .

4. Escribimos la cota. $2 \leq \int_{0}^{2} f \leq 10$ . Geométricamente, el área está entre la del rectángulo chico y la del grande.

Respuesta: $2 \leq \int_{0}^{2} f \leq 10$

5. Sabiendo que $\int_{0}^{1} f = 5$ y $\int_{1}^{3} f = 8$ , calculá $\int_{0}^{3} f$ y $\int_{3}^{0} f$ .

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1. Usamos la propiedad de partir el intervalo. $\int_{0}^{3} f = \int_{0}^{1} f + \int_{1}^{3} f$ , porque $1$ está entre los otros dos.

2. Sumamos. $5 + 8 = 13$

3. Usamos la propiedad de invertir los límites. Cambiar el orden de los extremos cambia el signo del resultado.

4. Escribimos la segunda. $\int_{3}^{0} f = -13$ . Tiene sentido: recorrer el intervalo al revés da el mismo valor con signo opuesto.

Respuesta: $\int_{0}^{3} f = 13$ y $\int_{3}^{0} f = -13$

6. Sabiendo que $\int_{0}^{2} f = 4$ y $\int_{0}^{2} g = 6$ , calculá $\int_{0}^{2} (3f - g)$ .

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1. Usamos la propiedad de la suma y la resta. La integral de una resta es la resta de las integrales.

2. Sacamos la constante. $\int 3f = 3\int f$ : los números que multiplican salen afuera.

3. Reemplazamos los datos. $3 \cdot 4 - 6 = 12 - 6$

4. Calculamos. $= 6$ . No hizo falta conocer las funciones, solo sus integrales.

Respuesta: $6$

7. Calculá $\int_{4}^{4} \left(x^{3} + e^{x}\right)\,dx$ y explicá por qué.

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1. Miramos los límites. Los dos extremos son iguales: $4$ y $4$ .

2. Aplicamos Barrow. $F(4) - F(4) = 0$ , sea cual sea la primitiva.

3. Interpretamos geométricamente. El intervalo tiene longitud cero, así que la región bajo la curva no tiene ancho: el área es cero.

4. Sacamos la regla general. $\int_{a}^{a} f = 0$ para cualquier función integrable, sin importar cuán complicada sea. Conviene mirar los límites antes de ponerse a integrar.

Respuesta: $0$

8. Sabiendo que $3 \leq f(x) \leq 7$ en $[0, 3]$ , acotá $\int_{0}^{3} f$ .

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1. Usamos la monotonía de la integral. Si una función es menor o igual que otra en todo el intervalo, su integral también lo es.

2. Integramos las tres partes. $\int_{0}^{3} 3\,dx \leq \int_{0}^{3} f \leq \int_{0}^{3} 7\,dx$

3. Calculamos las dos constantes. La integral de una constante es la constante por la longitud del intervalo: $3 \cdot 3 = 9$ y $7 \cdot 3 = 21$ .

4. Escribimos la cota. $9 \leq \int_{0}^{3} f \leq 21$ . Geométricamente, el área está entre la del rectángulo chico y la del grande.

Respuesta: $9 \leq \int_{0}^{3} f \leq 21$

9. Sabiendo que $\int_{0}^{2} f = 5$ y $\int_{2}^{4} f = 8$ , calculá $\int_{0}^{4} f$ y $\int_{4}^{0} f$ .

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1. Usamos la propiedad de partir el intervalo. $\int_{0}^{4} f = \int_{0}^{2} f + \int_{2}^{4} f$ , porque $2$ está entre los otros dos.

2. Sumamos. $5 + 8 = 13$

3. Usamos la propiedad de invertir los límites. Cambiar el orden de los extremos cambia el signo del resultado.

4. Escribimos la segunda. $\int_{4}^{0} f = -13$ . Tiene sentido: recorrer el intervalo al revés da el mismo valor con signo opuesto.

Respuesta: $\int_{0}^{4} f = 13$ y $\int_{4}^{0} f = -13$

10. Sabiendo que $\int_{2}^{5} f = 4$ y $\int_{2}^{5} g = 6$ , calculá $\int_{2}^{5} (3f - g)$ .

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1. Usamos la propiedad de la suma y la resta. La integral de una resta es la resta de las integrales.

2. Sacamos la constante. $\int 3f = 3\int f$ : los números que multiplican salen afuera.

3. Reemplazamos los datos. $3 \cdot 4 - 6 = 12 - 6$

4. Calculamos. $= 6$ . No hizo falta conocer las funciones, solo sus integrales.

Respuesta: $6$

11. Calculá $\int_{6}^{6} \left(x^{3} + e^{x}\right)\,dx$ y explicá por qué.

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1. Miramos los límites. Los dos extremos son iguales: $6$ y $6$ .

2. Aplicamos Barrow. $F(6) - F(6) = 0$ , sea cual sea la primitiva.

3. Interpretamos geométricamente. El intervalo tiene longitud cero, así que la región bajo la curva no tiene ancho: el área es cero.

4. Sacamos la regla general. $\int_{a}^{a} f = 0$ para cualquier función integrable, sin importar cuán complicada sea. Conviene mirar los límites antes de ponerse a integrar.

Respuesta: $0$

12. Sabiendo que $2 \leq f(x) \leq 6$ en $[1, 4]$ , acotá $\int_{1}^{4} f$ .

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1. Usamos la monotonía de la integral. Si una función es menor o igual que otra en todo el intervalo, su integral también lo es.

2. Integramos las tres partes. $\int_{1}^{4} 2\,dx \leq \int_{1}^{4} f \leq \int_{1}^{4} 6\,dx$

3. Calculamos las dos constantes. La integral de una constante es la constante por la longitud del intervalo: $2 \cdot 3 = 6$ y $6 \cdot 3 = 18$ .

4. Escribimos la cota. $6 \leq \int_{1}^{4} f \leq 18$ . Geométricamente, el área está entre la del rectángulo chico y la del grande.

Respuesta: $6 \leq \int_{1}^{4} f \leq 18$

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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