Propiedades de la integral definida

La integral definida tiene propiedades que simplifican mucho las cuentas y conviene conocerlas antes de ponerse a integrar.

Se lleva bien con sumas y con constantes que multiplican, igual que la indefinida. Eso permite partir el integrando y sacar factores afuera.

Si los dos extremos coinciden, la integral vale cero. Tiene sentido: no hay ancho, así que no hay área.

Invertir los extremos cambia el signo. Eso permite escribir cualquier integral con el extremo menor abajo, que es como conviene trabajarlas.

Se puede partir el intervalo en un punto intermedio y sumar las dos integrales. Esa propiedad es la que permite integrar funciones definidas por tramos: se integra cada tramo con su fórmula y se suman los resultados.

Hay dos que ahorran trabajo con funciones simétricas. Si la función es par, la integral entre valores opuestos es el doble de la mitad derecha. Si es impar, esa integral vale cero sin necesidad de calcular nada.

de a hasta

b =

de a hasta

c +

de c hasta b

Cuándo se usa

Antes de integrar, fijate si alguna propiedad te ahorra trabajo. Si la función es impar y los extremos son opuestos, la integral vale cero. Si la función viene por tramos, partí el intervalo en los puntos de cambio.

Ejemplo 1

Calcular la integral de $2x$ entre $0$ y $4$ , partiéndola en $c = 2$ , y verificar que da lo mismo.

Calculamos la integral completa. Primitiva $x^{2}$ : $16 = 16$ .
Calculamos el primer tramo. De $0$ a $2$ : $4 = 4$ .
Calculamos el segundo tramo. De $2$ a $4$ : $16 - 4 = 12$ .
Sumamos y comparamos. $4 + 12 = 16$ . Coincide con el cálculo directo.
Respuesta: las dos formas dan $16$ , como asegura la aditividad

Ejemplo 2

Calcular la integral de $x^{2}$ entre $3$ y $1$ , con los límites invertidos.

Notamos que el límite de abajo es mayor que el de arriba. Se puede calcular igual, aplicando la fórmula tal cual.
Hallamos la primitiva y evaluamos. $F(x) = x^{3}/3$ , con $F(1) = 1/3$ y $F(3) = 9$ .
Restamos respetando el orden. Arriba está el $1$ : $1/3 - 9 = -26/3$ .
Verificamos con la propiedad. De $1$ a $3$ daría $26/3$ , y en efecto es el mismo número con el signo cambiado.
Respuesta: la integral vale $-26/3$

Error típico

Partir el intervalo en un punto que queda fuera de él. La propiedad vale con $c$ entre $a$ y $b$ , no con cualquier valor.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .