Cómo elegir u y dv

En la integración por partes hay que decidir qué parte se deriva y qué parte se integra. Esa elección define si el ejercicio sale o se complica.

El criterio general es derivar lo que se simplifique al derivar e integrar lo que no se complique al integrar.

Los polinomios son los mejores candidatos para derivar, porque cada derivada les baja el grado y eventualmente desaparecen. Los logaritmos también, porque derivan en una expresión algebraica mucho más simple.

Las exponenciales y las trigonométricas son las mejores para integrar, porque al integrarlas quedan igual de simples que como estaban.

Hay una regla mnemotécnica que ordena por prioridad para derivar: primero logaritmos, después trigonométricas inversas, después polinomios, después trigonométricas, y último exponenciales. Lo que aparezca primero en esa lista es lo que conviene derivar.

Un caso especial es el logaritmo solo. Como no se sabe integrar directamente, se lo elige para derivar y se toma el resto, que es el diferencial, como la parte a integrar.

u: log, inversa, algebraica, trig, exp

Cuándo se usa

Al plantear una integración por partes. Derivá lo que se simplifique: polinomios y logaritmos. Integrá lo que no se complique: exponenciales y trigonométricas. Si la integral nueva quedó peor, invertí la elección.

Ejemplo 1

Decidir la elección para $\int x^{2} \ln x \, dx$ y resolver.

Aplicamos LIATE. Aparecen un logaritmo y una algebraica. La L viene antes que la A, así que $u = \ln x$ .
Armamos las cuatro piezas. $du = (1/x) \, dx$ y, como $dv = x^{2} \, dx$ , queda $v = x^{3}/3$ .
Reemplazamos en la fórmula. $(x^{3}/3) \ln x - \int (x^{3}/3)(1/x) \, dx$
Simplificamos la nueva integral. $\int x^{2}/3 \, dx = x^{3}/9$ .
Escribimos el resultado. $(x^{3}/3) \ln x - x^{3}/9 + C$
Respuesta: $(x^{3}/3) \ln x - x^{3}/9 + C$

Ejemplo 2

Mostrar por qué la elección contraria falla en $\int x e^{x} \, dx$ .

Probamos con la elección equivocada. $u = e^{x}$ y $dv = x \, dx$ .
Calculamos du y v. $du = e^{x} \, dx$ y $v = x^{2}/2$ .
Reemplazamos. $(x^{2}/2) e^{x} - \int (x^{2}/2) e^{x} \, dx$
Comparamos con la original. La nueva integral tiene $x^{2}$ donde la original tenía $x$ : el grado subió.
Concluimos. Cada aplicación empeora el problema. LIATE lo evita: la A viene antes que la E.
Respuesta: la elección correcta es $u = x$ , como indica LIATE

Error típico

Elegir $u = e^{x}$ cuando hay un polinomio al lado. Al integrar el polinomio el grado sube y la nueva integral queda peor que la original.

Practicar

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