Ejercicios: Cómo elegir u y dv

2. Probamos la elección buena. $u = 6x$ y $dv = e^{x}\,dx$: la integral nueva es $\int 6e^{x}\,dx$, más fácil que la original.

3. Probamos la otra. $u = e^{x}$ y $dv = 6x\,dx$: queda $v = 3x^{2}$ y la integral nueva tiene $x^{2}$, con grado más alto que antes.

4. Concluimos. La primera elección resuelve el ejercicio y la segunda lo complica. El polinomio es casi siempre el candidato a derivar.

Respuesta: conviene $u = 6x$ y $dv = e^{x}\,dx$

2. Escribimos las partes. $u = \ln x$, $dv = 3x\,dx$, $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ y $v = \dfrac{3}{2}x^{2}$.

3. Aplicamos la fórmula. $\dfrac{3}{2}x^{2}\ln x - \int \dfrac{3}{2}x\,dx$

4. Terminamos. $= \dfrac{3}{2}x^{2}\ln x - \dfrac{3}{4}x^{2} + C$. Al revés no se podría ni empezar, porque no sabemos integrar el logaritmo.

Respuesta: $\dfrac{3}{2}x^{2}\ln x - \dfrac{3}{4}x^{2} + C$

2. Elegimos las partes. $u = 4\operatorname{arc\,tg} x$, que está segunda en el orden de preferencia, y $dv = dx$.

3. Calculamos $du$ y $v$. $du = \dfrac{4}{1 + x^{2}}\,dx$ y $v = x$.

4. Aplicamos la fórmula y resolvemos. $4x\operatorname{arc\,tg} x - \int \dfrac{4x}{1 + x^{2}}\,dx = 4x\operatorname{arc\,tg} x - 2\ln(1 + x^{2}) + C$

Respuesta: $4x\operatorname{arc\,tg} x - 2\ln(1 + x^{2}) + C$

2. Justificamos con el efecto. Derivar $3x$ da una constante, que simplifica la integral nueva. Integrar $\cos x$ da $\operatorname{sen} x$, que no se complica.

3. Aplicamos la fórmula. $3x\operatorname{sen} x - \int 3\operatorname{sen} x\,dx$

4. Terminamos. $= 3x\operatorname{sen} x + 3\cos x + C$

Respuesta: $3x\operatorname{sen} x + 3\cos x + C$

2. Probamos la elección buena. $u = 4x$ y $dv = e^{x}\,dx$: la integral nueva es $\int 4e^{x}\,dx$, más fácil que la original.

3. Probamos la otra. $u = e^{x}$ y $dv = 4x\,dx$: queda $v = 2x^{2}$ y la integral nueva tiene $x^{2}$, con grado más alto que antes.

4. Concluimos. La primera elección resuelve el ejercicio y la segunda lo complica. El polinomio es casi siempre el candidato a derivar.

Respuesta: conviene $u = 4x$ y $dv = e^{x}\,dx$

2. Escribimos las partes. $u = \ln x$, $dv = 2x\,dx$, $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ y $v = x^{2}$.

3. Aplicamos la fórmula. $x^{2}\ln x - \int x\,dx$

4. Terminamos. $= x^{2}\ln x - \dfrac{1}{2}x^{2} + C$. Al revés no se podría ni empezar, porque no sabemos integrar el logaritmo.

Respuesta: $x^{2}\ln x - \dfrac{1}{2}x^{2} + C$

2. Elegimos las partes. $u = 7\operatorname{arc\,tg} x$, que está segunda en el orden de preferencia, y $dv = dx$.

3. Calculamos $du$ y $v$. $du = \dfrac{7}{1 + x^{2}}\,dx$ y $v = x$.

4. Aplicamos la fórmula y resolvemos. $7x\operatorname{arc\,tg} x - \int \dfrac{7x}{1 + x^{2}}\,dx = 7x\operatorname{arc\,tg} x - \dfrac{7}{2}\ln(1 + x^{2}) + C$

Respuesta: $7x\operatorname{arc\,tg} x - \dfrac{7}{2}\ln(1 + x^{2}) + C$

2. Justificamos con el efecto. Derivar $7x$ da una constante, que simplifica la integral nueva. Integrar $\cos x$ da $\operatorname{sen} x$, que no se complica.

3. Aplicamos la fórmula. $7x\operatorname{sen} x - \int 7\operatorname{sen} x\,dx$

4. Terminamos. $= 7x\operatorname{sen} x + 7\cos x + C$

Respuesta: $7x\operatorname{sen} x + 7\cos x + C$

2. Probamos la elección buena. $u = 2x$ y $dv = e^{x}\,dx$: la integral nueva es $\int 2e^{x}\,dx$, más fácil que la original.

3. Probamos la otra. $u = e^{x}$ y $dv = 2x\,dx$: queda $v = x^{2}$ y la integral nueva tiene $x^{2}$, con grado más alto que antes.

4. Concluimos. La primera elección resuelve el ejercicio y la segunda lo complica. El polinomio es casi siempre el candidato a derivar.

Respuesta: conviene $u = 2x$ y $dv = e^{x}\,dx$

2. Escribimos las partes. $u = \ln x$, $dv = 4x\,dx$, $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ y $v = 2x^{2}$.

3. Aplicamos la fórmula. $2x^{2}\ln x - \int 2x\,dx$

4. Terminamos. $= 2x^{2}\ln x - x^{2} + C$. Al revés no se podría ni empezar, porque no sabemos integrar el logaritmo.

Respuesta: $2x^{2}\ln x - x^{2} + C$

2. Elegimos las partes. $u = 2\operatorname{arc\,tg} x$, que está segunda en el orden de preferencia, y $dv = dx$.

3. Calculamos $du$ y $v$. $du = \dfrac{2}{1 + x^{2}}\,dx$ y $v = x$.

4. Aplicamos la fórmula y resolvemos. $2x\operatorname{arc\,tg} x - \int \dfrac{2x}{1 + x^{2}}\,dx = 2x\operatorname{arc\,tg} x - 1\ln(1 + x^{2}) + C$

Respuesta: $2x\operatorname{arc\,tg} x - 1\ln(1 + x^{2}) + C$

2. Justificamos con el efecto. Derivar $5x$ da una constante, que simplifica la integral nueva. Integrar $\cos x$ da $\operatorname{sen} x$, que no se complica.

3. Aplicamos la fórmula. $5x\operatorname{sen} x - \int 5\operatorname{sen} x\,dx$

4. Terminamos. $= 5x\operatorname{sen} x + 5\cos x + C$

Respuesta: $5x\operatorname{sen} x + 5\cos x + C$