Ejercicios: Por partes repetida

2. Primera aplicación. $uv - \int v\,du = 6x^{2}e^{x} - \int 12xe^{x}\,dx$

3. Vemos que hace falta repetir. La integral nueva sigue siendo un producto, pero el polinomio bajó de grado dos a grado uno. Eso es lo esperable: hay que aplicar la fórmula otra vez.

4. Segunda aplicación. Ahora $u = 12x$ y $dv = e^{x}\,dx$, así que $\int 12xe^{x}\,dx = 12xe^{x} - \int 12e^{x}\,dx = 12xe^{x} - 12e^{x}$.

5. Juntamos todo. Reemplazando en el primer renglón y sacando $e^{x}$ de factor común queda $6 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$. Con un polinomio de grado dos hicieron falta dos aplicaciones: el grado determina cuántas.

Respuesta: $6 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$

2. Primera aplicación. $-7x^{2}\cos x + \int 14x\cos x\,dx$. Los dos signos menos, el de la fórmula y el de la primitiva del seno, se combinan en un más.

3. Segunda aplicación. Para la integral que quedó: $u = 14x$ y $dv = \cos x\,dx$, con $v = \operatorname{sen} x$.

4. Resolvemos esa integral. $\int 14x\cos x\,dx = 14x\operatorname{sen} x - \int 14\operatorname{sen} x\,dx = 14x\operatorname{sen} x + 14\cos x$

5. Juntamos todo. $- 7 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 14 x \operatorname{sen}{\left(x \right)} + 14 \cos{\left(x \right)} + C$. El polinomio era de grado dos y se aplicó dos veces, hasta agotarlo. Si en algún paso el grado no baja, la elección de $u$ estaba mal.

Respuesta: $- 7 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 14 x \operatorname{sen}{\left(x \right)} + 14 \cos{\left(x \right)} + C$

2. Segunda aplicación. $\int e^{7x}\cos x\,dx = e^{7x}\operatorname{sen} x - 7\int e^{7x}\operatorname{sen} x\,dx$

3. Reconocemos lo que pasó. En el último término reapareció la integral original. No es un error ni un callejón sin salida: es lo que permite resolverla.

4. Escribimos la ecuación. Llamando $J$ a la integral buscada y reemplazando la segunda aplicación en la primera: $J = -e^{7x}\cos x + 7e^{7x}\operatorname{sen} x - 49J$.

5. Despejamos. Pasamos el $49J$ al otro lado: $50J = e^{7x}\left(7\operatorname{sen} x - \cos x\right)$, y dividiendo por $50$ queda $\dfrac{\left(7 \operatorname{sen}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}}{50} + C$. Acá no hay polinomio que se agote: se resuelve despejando.

Respuesta: $\dfrac{\left(7 \operatorname{sen}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{7 x}}{50} + C$

2. Seguimos la cuenta. De grado $8$ se pasa a $7$, después a $6$, y así hasta llegar a grado cero.

3. Contamos. Hacen falta $8$ aplicaciones, una por cada grado.

4. Cerramos. Cuando el polinomio se agota queda $\int e^{x}\,dx$, que es inmediata. Que aparezcan integrales nuevas no significa que algo esté mal.

Respuesta: $8$ veces, una por cada grado del polinomio

2. Primera aplicación. $uv - \int v\,du = 5x^{2}e^{x} - \int 10xe^{x}\,dx$

3. Vemos que hace falta repetir. La integral nueva sigue siendo un producto, pero el polinomio bajó de grado dos a grado uno. Eso es lo esperable: hay que aplicar la fórmula otra vez.

4. Segunda aplicación. Ahora $u = 10x$ y $dv = e^{x}\,dx$, así que $\int 10xe^{x}\,dx = 10xe^{x} - \int 10e^{x}\,dx = 10xe^{x} - 10e^{x}$.

5. Juntamos todo. Reemplazando en el primer renglón y sacando $e^{x}$ de factor común queda $5 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$. Con un polinomio de grado dos hicieron falta dos aplicaciones: el grado determina cuántas.

Respuesta: $5 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$

2. Primera aplicación. $-5x^{2}\cos x + \int 10x\cos x\,dx$. Los dos signos menos, el de la fórmula y el de la primitiva del seno, se combinan en un más.

3. Segunda aplicación. Para la integral que quedó: $u = 10x$ y $dv = \cos x\,dx$, con $v = \operatorname{sen} x$.

4. Resolvemos esa integral. $\int 10x\cos x\,dx = 10x\operatorname{sen} x - \int 10\operatorname{sen} x\,dx = 10x\operatorname{sen} x + 10\cos x$

5. Juntamos todo. $- 5 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 10 x \operatorname{sen}{\left(x \right)} + 10 \cos{\left(x \right)} + C$. El polinomio era de grado dos y se aplicó dos veces, hasta agotarlo. Si en algún paso el grado no baja, la elección de $u$ estaba mal.

Respuesta: $- 5 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 10 x \operatorname{sen}{\left(x \right)} + 10 \cos{\left(x \right)} + C$

2. Segunda aplicación. $\int e^{5x}\cos x\,dx = e^{5x}\operatorname{sen} x - 5\int e^{5x}\operatorname{sen} x\,dx$

3. Reconocemos lo que pasó. En el último término reapareció la integral original. No es un error ni un callejón sin salida: es lo que permite resolverla.

4. Escribimos la ecuación. Llamando $J$ a la integral buscada y reemplazando la segunda aplicación en la primera: $J = -e^{5x}\cos x + 5e^{5x}\operatorname{sen} x - 25J$.

5. Despejamos. Pasamos el $25J$ al otro lado: $26J = e^{5x}\left(5\operatorname{sen} x - \cos x\right)$, y dividiendo por $26$ queda $\dfrac{\left(5 \operatorname{sen}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{5 x}}{26} + C$. Acá no hay polinomio que se agote: se resuelve despejando.

Respuesta: $\dfrac{\left(5 \operatorname{sen}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{5 x}}{26} + C$

2. Seguimos la cuenta. De grado $4$ se pasa a $3$, después a $2$, y así hasta llegar a grado cero.

3. Contamos. Hacen falta $4$ aplicaciones, una por cada grado.

4. Cerramos. Cuando el polinomio se agota queda $\int e^{x}\,dx$, que es inmediata. Que aparezcan integrales nuevas no significa que algo esté mal.

Respuesta: $4$ veces, una por cada grado del polinomio

2. Primera aplicación. $uv - \int v\,du = 7x^{2}e^{x} - \int 14xe^{x}\,dx$

3. Vemos que hace falta repetir. La integral nueva sigue siendo un producto, pero el polinomio bajó de grado dos a grado uno. Eso es lo esperable: hay que aplicar la fórmula otra vez.

4. Segunda aplicación. Ahora $u = 14x$ y $dv = e^{x}\,dx$, así que $\int 14xe^{x}\,dx = 14xe^{x} - \int 14e^{x}\,dx = 14xe^{x} - 14e^{x}$.

5. Juntamos todo. Reemplazando en el primer renglón y sacando $e^{x}$ de factor común queda $7 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$. Con un polinomio de grado dos hicieron falta dos aplicaciones: el grado determina cuántas.

Respuesta: $7 \left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x} + C$

2. Primera aplicación. $-3x^{2}\cos x + \int 6x\cos x\,dx$. Los dos signos menos, el de la fórmula y el de la primitiva del seno, se combinan en un más.

3. Segunda aplicación. Para la integral que quedó: $u = 6x$ y $dv = \cos x\,dx$, con $v = \operatorname{sen} x$.

4. Resolvemos esa integral. $\int 6x\cos x\,dx = 6x\operatorname{sen} x - \int 6\operatorname{sen} x\,dx = 6x\operatorname{sen} x + 6\cos x$

5. Juntamos todo. $- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \operatorname{sen}{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)} + C$. El polinomio era de grado dos y se aplicó dos veces, hasta agotarlo. Si en algún paso el grado no baja, la elección de $u$ estaba mal.

Respuesta: $- 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \operatorname{sen}{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)} + C$

2. Segunda aplicación. $\int e^{6x}\cos x\,dx = e^{6x}\operatorname{sen} x - 6\int e^{6x}\operatorname{sen} x\,dx$

3. Reconocemos lo que pasó. En el último término reapareció la integral original. No es un error ni un callejón sin salida: es lo que permite resolverla.

4. Escribimos la ecuación. Llamando $J$ a la integral buscada y reemplazando la segunda aplicación en la primera: $J = -e^{6x}\cos x + 6e^{6x}\operatorname{sen} x - 36J$.

5. Despejamos. Pasamos el $36J$ al otro lado: $37J = e^{6x}\left(6\operatorname{sen} x - \cos x\right)$, y dividiendo por $37$ queda $\dfrac{\left(6 \operatorname{sen}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{6 x}}{37} + C$. Acá no hay polinomio que se agote: se resuelve despejando.

Respuesta: $\dfrac{\left(6 \operatorname{sen}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{6 x}}{37} + C$

2. Seguimos la cuenta. De grado $7$ se pasa a $6$, después a $5$, y así hasta llegar a grado cero.

3. Contamos. Hacen falta $7$ aplicaciones, una por cada grado.

4. Cerramos. Cuando el polinomio se agota queda $\int e^{x}\,dx$, que es inmediata. Que aparezcan integrales nuevas no significa que algo esté mal.

Respuesta: $7$ veces, una por cada grado del polinomio