Ejercicios: De los rectángulos a la integral

1. Aproximá el área bajo $f(x) = x$ en $[0, 3]$ con $4$ rectángulos, tomando la altura en el extremo derecho de cada subintervalo.

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1. Calculamos el ancho de cada rectángulo. $\Delta x = \dfrac{3 - 0}{4} = \dfrac{3}{4}$

2. Ubicamos los puntos de altura. Son los extremos derechos: $\dfrac{3}{4}$ , $\dfrac{3}{2}$ , $\dfrac{9}{4}$ , $3$ .

3. Sumamos las áreas. $\sum f(x_{i})\Delta x = \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{4} + 3\right) = \dfrac{45}{8}$

4. Comparamos con el área exacta. El triángulo tiene área $\dfrac{3 \cdot 3}{2} = \dfrac{9}{2}$ . La aproximación se pasa un poco porque la función crece y el extremo derecho sobrestima.

Respuesta: la aproximación da $\dfrac{45}{8}$ y el área exacta es $\dfrac{9}{2}$

2. Aproximá el área bajo $f(x) = x^{2}$ en $[0, 3]$ con $4$ rectángulos por derecha.

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1. Calculamos el ancho. $\Delta x = \dfrac{3}{4}$

2. Calculamos las alturas. Son los cuadrados de los extremos derechos: $\dfrac{9}{16}$ , $\dfrac{9}{4}$ , $\dfrac{81}{16}$ , $9$ .

3. Sumamos. $\sum f(x_{i})\Delta x = \dfrac{3}{4} \cdot \left(\dfrac{9}{16} + \dfrac{9}{4} + \dfrac{81}{16} + 9\right) = \dfrac{405}{32} \approx 12{,}6562$

4. Comparamos. El valor exacto es $9$ . Con más rectángulos la diferencia se achica, y ese límite es la integral.

Respuesta: la suma da $12{,}6562$ , contra el área exacta $9$

3. Calculá el área bajo $f(x) = x^{2}$ en $[0, 4]$ como límite de sumas de rectángulos.

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1. Escribimos la suma con $n$ rectángulos. $\Delta x = \dfrac{4}{n}$ y $x_{i} = \dfrac{4i}{n}$ , así que la suma es $\sum_{i = 1}^{n} \dfrac{16i^{2}}{n^{2}} \cdot \dfrac{4}{n}$ .

2. Sacamos las constantes. $\dfrac{64}{n^{3}}\sum_{i = 1}^{n} i^{2}$

3. Usamos la fórmula de la suma de cuadrados. $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , así que la suma queda $\dfrac{64(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}$ .

4. Tomamos límite. Cuando $n \to \infty$ el cociente tiende a $\dfrac{64 \cdot 2}{6} = \dfrac{64}{3}$ , que es el valor exacto del área.

Respuesta: $\dfrac{64}{3}$

4. Para el intervalo $[1, 5]$ partido en $4$ subintervalos iguales, escribí $\Delta x$ y los puntos $x_{i}$ , y explicá qué representa cada uno en la suma.

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1. Calculamos el ancho. $\Delta x = \dfrac{5 - 1}{4} = 1$ : es la base de cada rectángulo.

2. Escribimos los puntos. $x_{i} = 1 + i\Delta x$ , o sea $2$ , $3$ , $4$ , $5$ .

3. Interpretamos el producto. $f(x_{i})$ es la altura del rectángulo $i$ y $\Delta x$ su base, así que cada término es el área de un rectángulo.

4. Interpretamos la suma y el límite. La suma aproxima el área total, y al hacer $n \to \infty$ los rectángulos se afinan hasta que la aproximación se vuelve exacta: eso es la integral definida.

Respuesta: $\Delta x = 1$ y $x_{i} = 1 + i \cdot 1$

5. Aproximá el área bajo $f(x) = x$ en $[0, 2]$ con $5$ rectángulos, tomando la altura en el extremo derecho de cada subintervalo.

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1. Calculamos el ancho de cada rectángulo. $\Delta x = \dfrac{2 - 0}{5} = \dfrac{2}{5}$

2. Ubicamos los puntos de altura. Son los extremos derechos: $\dfrac{2}{5}$ , $\dfrac{4}{5}$ , $\dfrac{6}{5}$ , $\dfrac{8}{5}$ , $2$ .

3. Sumamos las áreas. $\sum f(x_{i})\Delta x = \dfrac{2}{5}\left(\dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5} + 2\right) = \dfrac{12}{5}$

4. Comparamos con el área exacta. El triángulo tiene área $\dfrac{2 \cdot 2}{2} = 2$ . La aproximación se pasa un poco porque la función crece y el extremo derecho sobrestima.

Respuesta: la aproximación da $\dfrac{12}{5}$ y el área exacta es $2$

6. Aproximá el área bajo $f(x) = x^{2}$ en $[0, 6]$ con $4$ rectángulos por derecha.

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1. Calculamos el ancho. $\Delta x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$

2. Calculamos las alturas. Son los cuadrados de los extremos derechos: $\dfrac{9}{4}$ , $9$ , $\dfrac{81}{4}$ , $36$ .

3. Sumamos. $\sum f(x_{i})\Delta x = \dfrac{3}{2} \cdot \left(\dfrac{9}{4} + 9 + \dfrac{81}{4} + 36\right) = \dfrac{405}{4} = 101{,}25$

4. Comparamos. El valor exacto es $72$ . Con más rectángulos la diferencia se achica, y ese límite es la integral.

Respuesta: la suma da $101{,}25$ , contra el área exacta $72$

7. Calculá el área bajo $f(x) = x^{2}$ en $[0, 2]$ como límite de sumas de rectángulos.

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1. Escribimos la suma con $n$ rectángulos. $\Delta x = \dfrac{2}{n}$ y $x_{i} = \dfrac{2i}{n}$ , así que la suma es $\sum_{i = 1}^{n} \dfrac{4i^{2}}{n^{2}} \cdot \dfrac{2}{n}$ .

2. Sacamos las constantes. $\dfrac{8}{n^{3}}\sum_{i = 1}^{n} i^{2}$

3. Usamos la fórmula de la suma de cuadrados. $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , así que la suma queda $\dfrac{8(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}$ .

4. Tomamos límite. Cuando $n \to \infty$ el cociente tiende a $\dfrac{8 \cdot 2}{6} = \dfrac{8}{3}$ , que es el valor exacto del área.

Respuesta: $\dfrac{8}{3}$

8. Para el intervalo $[2, 8]$ partido en $3$ subintervalos iguales, escribí $\Delta x$ y los puntos $x_{i}$ , y explicá qué representa cada uno en la suma.

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1. Calculamos el ancho. $\Delta x = \dfrac{8 - 2}{3} = 2$ : es la base de cada rectángulo.

2. Escribimos los puntos. $x_{i} = 2 + i\Delta x$ , o sea $4$ , $6$ , $8$ .

3. Interpretamos el producto. $f(x_{i})$ es la altura del rectángulo $i$ y $\Delta x$ su base, así que cada término es el área de un rectángulo.

4. Interpretamos la suma y el límite. La suma aproxima el área total, y al hacer $n \to \infty$ los rectángulos se afinan hasta que la aproximación se vuelve exacta: eso es la integral definida.

Respuesta: $\Delta x = 2$ y $x_{i} = 2 + i \cdot 2$

9. Aproximá el área bajo $f(x) = x$ en $[0, 6]$ con $3$ rectángulos, tomando la altura en el extremo derecho de cada subintervalo.

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1. Calculamos el ancho de cada rectángulo. $\Delta x = \dfrac{6 - 0}{3} = 2$

2. Ubicamos los puntos de altura. Son los extremos derechos: $2$ , $4$ , $6$ .

3. Sumamos las áreas. $\sum f(x_{i})\Delta x = 2\left(2 + 4 + 6\right) = 24$

4. Comparamos con el área exacta. El triángulo tiene área $\dfrac{6 \cdot 6}{2} = 18$ . La aproximación se pasa un poco porque la función crece y el extremo derecho sobrestima.

Respuesta: la aproximación da $24$ y el área exacta es $18$

10. Aproximá el área bajo $f(x) = x^{2}$ en $[0, 1]$ con $4$ rectángulos por derecha.

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1. Calculamos el ancho. $\Delta x = \dfrac{1}{4}$

2. Calculamos las alturas. Son los cuadrados de los extremos derechos: $\dfrac{1}{16}$ , $\dfrac{1}{4}$ , $\dfrac{9}{16}$ , $1$ .

3. Sumamos. $\sum f(x_{i})\Delta x = \dfrac{1}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{16} + 1\right) = \dfrac{15}{32} \approx 0{,}4688$

4. Comparamos. El valor exacto es $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$ . Con más rectángulos la diferencia se achica, y ese límite es la integral.

Respuesta: la suma da $0{,}4688$ , contra el área exacta $0{,}3333$

11. Calculá el área bajo $f(x) = x^{2}$ en $[0, 1]$ como límite de sumas de rectángulos.

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1. Escribimos la suma con $n$ rectángulos. $\Delta x = \dfrac{1}{n}$ y $x_{i} = \dfrac{i}{n}$ , así que la suma es $\sum_{i = 1}^{n} \dfrac{i^{2}}{n^{2}} \cdot \dfrac{1}{n}$ .

2. Sacamos las constantes. $\dfrac{1}{n^{3}}\sum_{i = 1}^{n} i^{2}$

3. Usamos la fórmula de la suma de cuadrados. $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , así que la suma queda $\dfrac{1(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}$ .

4. Tomamos límite. Cuando $n \to \infty$ el cociente tiende a $\dfrac{1 \cdot 2}{6} = \dfrac{1}{3}$ , que es el valor exacto del área.

Respuesta: $\dfrac{1}{3}$

12. Para el intervalo $[1, 7]$ partido en $3$ subintervalos iguales, escribí $\Delta x$ y los puntos $x_{i}$ , y explicá qué representa cada uno en la suma.

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1. Calculamos el ancho. $\Delta x = \dfrac{7 - 1}{3} = 2$ : es la base de cada rectángulo.

2. Escribimos los puntos. $x_{i} = 1 + i\Delta x$ , o sea $3$ , $5$ , $7$ .

3. Interpretamos el producto. $f(x_{i})$ es la altura del rectángulo $i$ y $\Delta x$ su base, así que cada término es el área de un rectángulo.

4. Interpretamos la suma y el límite. La suma aproxima el área total, y al hacer $n \to \infty$ los rectángulos se afinan hasta que la aproximación se vuelve exacta: eso es la integral definida.

Respuesta: $\Delta x = 2$ y $x_{i} = 1 + i \cdot 2$