De los rectángulos a la integral

La integral definida nace de un problema geométrico: calcular el área bajo una curva, que no tiene ninguna fórmula conocida.

La idea es aproximar esa área con rectángulos. Se parte el intervalo en pedazos, sobre cada uno se levanta un rectángulo cuya altura es el valor de la función, y se suman todas las áreas.

Con pocos rectángulos la aproximación es mala, porque sobra o falta área en cada tramo. Pero cuantos más rectángulos se usen, más se ajusta el conjunto a la forma de la curva.

La integral definida es el límite de esa suma cuando la cantidad de rectángulos tiende a infinito y el ancho de cada uno tiende a cero. En ese límite la aproximación se vuelve exacta.

El símbolo de la integral es una ese estirada, y viene justamente de la palabra suma. El diferencial al final representa el ancho de cada rectángulo.

Calcular integrales con esta definición es carísimo. Lo que hace práctico el tema es el teorema fundamental, que conecta esta suma con las primitivas y evita tener que sumar nada.

\text{área} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\,\Delta x

Cuándo se usa

Es la definición que da sentido a todo lo demás. Aparece en ejercicios teóricos que piden aproximar un área con rectángulos o justificar de dónde sale la integral. En la práctica se calcula con el teorema fundamental.

Ejemplo 1

Aproximar el área bajo $f(x) = x^{2}$ entre $0$ y $2$ con cuatro rectángulos.

Calculamos el ancho de cada rectángulo. $\Delta x = (2)/4 = 0{,}5$ .
Elegimos la altura por el extremo derecho de cada tramo. Los puntos son $0{,}5$ , $1$ , $1{,}5$ y $2$ .
Evaluamos la función en cada uno. $0{,}25$ , $1$ , $2{,}25$ y $4$ .
Sumamos las alturas y multiplicamos por el ancho. $(0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) \cdot 0{,}5 = 7{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}75$ .
Comparamos con el valor exacto. El área real es $8/3 \approx 2{,}67$ . La aproximación sobra porque los rectángulos por derecha quedan por encima de la curva.
Respuesta: la aproximación da $3{,}75$ contra un valor real de $8/3$

Ejemplo 2

Explicar por qué la aproximación mejora al aumentar los rectángulos.

Miramos el error de un rectángulo. Cada rectángulo se pasa o se queda corto en un pedacito, el que queda entre su borde superior y la curva.
Vemos qué pasa al achicar el ancho. Si el ancho se reduce a la mitad, ese pedacito también se achica.
Sumamos todos los errores. Hay el doble de rectángulos, pero cada error es menos de la mitad.
Concluimos. El error total tiende a cero. Ese límite es la integral definida.
Respuesta: el error total tiende a cero, y ese límite es la integral definida

Error típico

Escribir $+ C$ en una integral definida. El resultado es un número: no hay familia de funciones que nombrar, y de hecho la constante se cancela al restar.

Practicar

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