Área entre dos curvas

Para hallar el área encerrada entre dos curvas se integra la diferencia entre ellas: la de arriba menos la de abajo.

El primer paso es encontrar dónde se cortan, igualando las dos funciones y resolviendo. Esos puntos son los límites de integración, salvo que el enunciado los dé.

El segundo paso es determinar cuál está arriba en ese intervalo. Alcanza con evaluar las dos en un punto cualquiera del medio y comparar. Un bosquejo también sirve y es más seguro.

Que las funciones sean negativas en el tramo no importa. La diferencia entre la de arriba y la de abajo siempre es positiva si el orden es el correcto, así que no hace falta partir por las raíces de cada una.

El error más frecuente es restar en el orden equivocado, y se detecta enseguida: si el resultado da negativo, las funciones estaban al revés.

El resultado no depende de dónde esté el eje horizontal. Desplazar las dos curvas hacia arriba no cambia el área entre ellas, y eso confirma que la técnica es correcta.

área

= \int

de a hasta b de

[ f(x) - g(x) ]

dx con f arriba

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide el área encerrada entre dos curvas. Igualalas para hallar los puntos de corte, evaluá en un punto del medio para ver cuál está arriba, e integrá la resta en ese orden.

Ejemplo 1

Hallar el área entre $y = 2x$ e $y = x^{2}$ .

Igualamos para hallar los cortes. $2x = x^{2}$ , o sea $x(2 - x) = 0$ : $x = 0$ y $x = 2$ .
Probamos un punto intermedio. En $x = 1$ : la recta vale $2$ y la parábola $1$ . La recta está arriba.
Planteamos la integral de la diferencia. Integramos $2x - x^{2}$ entre $0$ y $2$ .
Hallamos la primitiva. $x^{2} - x^{3}/3$
Evaluamos y restamos. En $2$ : $4 - 8/3 = 4/3$ . En $0$ : $0$ .
Respuesta: el área es $4/3$

Ejemplo 2

Hallar el área entre $y = x^{2}$ e $y = x^{3}$ en $[0, 1]$ .

Verificamos los cortes. $x^{2} = x^{3}$ da $x = 0$ y $x = 1$ , que coinciden con el intervalo.
Probamos un punto intermedio. En $x = 0{,}5$ : $x^{2} = 0{,}25$ y $x^{3} = 0{,}125$ . La parábola está arriba.
Planteamos la integral. Integramos $x^{2} - x^{3}$ entre $0$ y $1$ .
Hallamos la primitiva y evaluamos. $x^{3}/3 - x^{4}/4$ , que en $1$ da $1/3 - 1/4 = 1/12$ .
Respuesta: el área es $1/12$

Error típico

Restar en el orden equivocado. Si te da negativa, no cambies el signo a mano sin entender: verificá cuál está arriba probando un punto del medio.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .