Ejercicios: Área entre dos curvas

área

= \int

de a hasta b de

[ f(x) - g(x) ]

dx con f arriba

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el área encerrada entre $f(x) = 1$ y $g(x) = x^{2}$ .

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1. Buscamos los puntos de corte. $1 = x^{2}$ da $x = -1$ y $x = 1$ : esos son los límites.

2. Decidimos cuál está arriba. En $x = 0$ : $f(0) = 1$ y $g(0) = 0$ , así que la recta está por encima en todo el intervalo.

3. Planteamos la integral de la diferencia. $A = \int_{-1}^{1} \left(1 - x^{2}\right)\,dx$

4. Integramos y evaluamos. $A = \dfrac{4}{3}$ unidades de área.

Respuesta: $\dfrac{4}{3}$ unidades de área

2. Calculá el área encerrada entre $f(x) = 7x$ y $g(x) = x^{2}$ .

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1. Buscamos los cortes. $7x = x^{2}$ da $x = 0$ y $x = 7$ .

2. Decidimos cuál está arriba. En $x = \dfrac{7}{2}$ : la recta vale $\dfrac{49}{2}$ y la parábola $\dfrac{49}{4}$ , así que la recta está por encima.

3. Planteamos. $A = \int_{0}^{7} \left(7x - x^{2}\right)\,dx$

4. Integramos y evaluamos. $A = \dfrac{343}{6}$ unidades de área.

Respuesta: $\dfrac{343}{6}$ unidades de área

3. Hallá los puntos de corte y planteá la integral del área entre $f(x) = x^{2}$ y $g(x) = 3 x + 4$ , y resolvela.

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1. Igualamos las dos funciones. $x^{2} = 3 x + 4$ , o sea $x^{2} - 3 x + 4 = 0$ .

2. Resolvemos. Factorizando, $(x + 1)(x - 4) = 0$ , así que los cortes son $x = -1$ y $x = 4$ .

3. Decidimos cuál está arriba. En un punto intermedio la recta da un valor mayor que la parábola, así que se integra $g - f$ .

4. Planteamos y calculamos. $A = \int_{-1}^{4} \left(3 x + 4 - x^{2}\right)\,dx = \dfrac{125}{6}$

Respuesta: cortes en $x = -1$ y $x = 4$ , con área $\dfrac{125}{6}$

4. Para $f(x) = x^{2}$ y $g(x) = 2x$ en $[0, 2]$ , decidí cuál está arriba y explicá por qué importa el orden.

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1. Evaluamos las dos en un punto interior. En $x = 1$ : $f = 1$ y $g = 2$ .

2. Concluimos cuál está arriba. $g$ da el doble, así que la recta está por encima de la parábola en todo el intervalo.

3. Planteamos la diferencia correcta. $A = \int_{0}^{2} (g - f)\,dx$ , arriba menos abajo.

4. Vemos qué pasa si se invierte. Integrando $f - g$ el resultado sale con signo negativo, del mismo módulo. Por eso conviene decidir el orden antes de integrar, evaluando en un punto interior.

Respuesta: $g$ está arriba, así que se integra $g - f$

5. Calculá el área encerrada entre $f(x) = 9$ y $g(x) = x^{2}$ .

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1. Buscamos los puntos de corte. $9 = x^{2}$ da $x = -3$ y $x = 3$ : esos son los límites.

2. Decidimos cuál está arriba. En $x = 0$ : $f(0) = 9$ y $g(0) = 0$ , así que la recta está por encima en todo el intervalo.

3. Planteamos la integral de la diferencia. $A = \int_{-3}^{3} \left(9 - x^{2}\right)\,dx$

4. Integramos y evaluamos. $A = 36$ unidades de área.

Respuesta: $36$ unidades de área

6. Calculá el área encerrada entre $f(x) = 4x$ y $g(x) = x^{2}$ .

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1. Buscamos los cortes. $4x = x^{2}$ da $x = 0$ y $x = 4$ .

2. Decidimos cuál está arriba. En $x = 2$ : la recta vale $8$ y la parábola $4$ , así que la recta está por encima.

3. Planteamos. $A = \int_{0}^{4} \left(4x - x^{2}\right)\,dx$

4. Integramos y evaluamos. $A = \dfrac{32}{3}$ unidades de área.

Respuesta: $\dfrac{32}{3}$ unidades de área

7. Hallá los puntos de corte y planteá la integral del área entre $f(x) = x^{2}$ y $g(x) = 4 x + 5$ , y resolvela.

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1. Igualamos las dos funciones. $x^{2} = 4 x + 5$ , o sea $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ .

2. Resolvemos. Factorizando, $(x + 1)(x - 5) = 0$ , así que los cortes son $x = -1$ y $x = 5$ .

3. Decidimos cuál está arriba. En un punto intermedio la recta da un valor mayor que la parábola, así que se integra $g - f$ .

4. Planteamos y calculamos. $A = \int_{-1}^{5} \left(4 x + 5 - x^{2}\right)\,dx = 36$

Respuesta: cortes en $x = -1$ y $x = 5$ , con área $36$

8. Para $f(x) = x^{2}$ y $g(x) = 5x$ en $[0, 5]$ , decidí cuál está arriba y explicá por qué importa el orden.

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1. Evaluamos las dos en un punto interior. En $x = \dfrac{5}{2}$ : $f = \dfrac{25}{4}$ y $g = \dfrac{25}{2}$ .

2. Concluimos cuál está arriba. $g$ da el doble, así que la recta está por encima de la parábola en todo el intervalo.

3. Planteamos la diferencia correcta. $A = \int_{0}^{5} (g - f)\,dx$ , arriba menos abajo.

4. Vemos qué pasa si se invierte. Integrando $f - g$ el resultado sale con signo negativo, del mismo módulo. Por eso conviene decidir el orden antes de integrar, evaluando en un punto interior.

Respuesta: $g$ está arriba, así que se integra $g - f$

9. Calculá el área encerrada entre $f(x) = 16$ y $g(x) = x^{2}$ .

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1. Buscamos los puntos de corte. $16 = x^{2}$ da $x = -4$ y $x = 4$ : esos son los límites.

2. Decidimos cuál está arriba. En $x = 0$ : $f(0) = 16$ y $g(0) = 0$ , así que la recta está por encima en todo el intervalo.

3. Planteamos la integral de la diferencia. $A = \int_{-4}^{4} \left(16 - x^{2}\right)\,dx$

4. Integramos y evaluamos. $A = \dfrac{256}{3}$ unidades de área.

Respuesta: $\dfrac{256}{3}$ unidades de área

10. Calculá el área encerrada entre $f(x) = 6x$ y $g(x) = x^{2}$ .

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1. Buscamos los cortes. $6x = x^{2}$ da $x = 0$ y $x = 6$ .

2. Decidimos cuál está arriba. En $x = 3$ : la recta vale $18$ y la parábola $9$ , así que la recta está por encima.

3. Planteamos. $A = \int_{0}^{6} \left(6x - x^{2}\right)\,dx$

4. Integramos y evaluamos. $A = 36$ unidades de área.

Respuesta: $36$ unidades de área

11. Hallá los puntos de corte y planteá la integral del área entre $f(x) = x^{2}$ y $g(x) = 2 x + 3$ , y resolvela.

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1. Igualamos las dos funciones. $x^{2} = 2 x + 3$ , o sea $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ .

2. Resolvemos. Factorizando, $(x + 1)(x - 3) = 0$ , así que los cortes son $x = -1$ y $x = 3$ .

3. Decidimos cuál está arriba. En un punto intermedio la recta da un valor mayor que la parábola, así que se integra $g - f$ .

4. Planteamos y calculamos. $A = \int_{-1}^{3} \left(2 x + 3 - x^{2}\right)\,dx = \dfrac{32}{3}$

Respuesta: cortes en $x = -1$ y $x = 3$ , con área $\dfrac{32}{3}$

12. Para $f(x) = x^{2}$ y $g(x) = 4x$ en $[0, 4]$ , decidí cuál está arriba y explicá por qué importa el orden.

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1. Evaluamos las dos en un punto interior. En $x = 2$ : $f = 4$ y $g = 8$ .

2. Concluimos cuál está arriba. $g$ da el doble, así que la recta está por encima de la parábola en todo el intervalo.

3. Planteamos la diferencia correcta. $A = \int_{0}^{4} (g - f)\,dx$ , arriba menos abajo.

4. Vemos qué pasa si se invierte. Integrando $f - g$ el resultado sale con signo negativo, del mismo módulo. Por eso conviene decidir el orden antes de integrar, evaluando en un punto interior.

Respuesta: $g$ está arriba, así que se integra $g - f$

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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