Método

Ejercicios: Cuando la curva pasa por debajo

área =∫= \int de a hasta c de f+∣∫f + | \int de c hasta b de f |

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá ∫34(x2−4x) dx\int_{3}^{4} \left(x^{2} - 4 x\right)\,dx y decidí si ese número es el área.

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1. Estudiamos el signo del integrando. x(x−4)x \left(x - 4\right) es negativa entre 00 y 44, así que en [3,4][3, 4] la curva está debajo del eje.

2. Calculamos la integral. x2(x−6)3∣34=−53\left.\dfrac{x^{2} \left(x - 6\right)}{3}\right|_{3}^{4} = - \dfrac{5}{3}

3. Interpretamos el signo. La integral mide área con signo: cuenta negativo lo que está debajo del eje. Un área geométrica no puede ser negativa.

4. Escribimos el área. A=∣−53∣=53A = |- \dfrac{5}{3}| = \dfrac{5}{3} unidades de área.

Respuesta: la integral da −53- \dfrac{5}{3} y el área es 53\dfrac{5}{3}

2. Calculá el área entre f(x)=x2−16f(x) = x^{2} - 16 y el eje xx en [0,8][0, 8].

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1. Buscamos dónde cambia de signo. x2−16=0x^{2} - 16 = 0 da x=4x = 4 y x=−4x = -4. Solo 44 cae adentro del intervalo, así que hay que partir ahí.

2. Estudiamos el signo en cada tramo. En (0,4)(0, 4) la función es negativa, por ejemplo f(0)=−16f(0) = -16; en (4,8)(4, 8) es positiva.

3. Hallamos la primitiva. F(x)=x(x2−48)3F(x) = \dfrac{x \left(x^{2} - 48\right)}{3}, la misma para los dos tramos.

4. Integramos cada tramo. ∫04f=F(4)−F(0)=−1283\int_{0}^{4} f = F(4) - F(0) = - \dfrac{128}{3}, negativo, así que ese tramo aporta 1283\dfrac{128}{3} de área. ∫48f=2563\int_{4}^{8} f = \dfrac{256}{3}, que ya es positivo.

5. Sumamos. A=1283+2563=128A = \dfrac{128}{3} + \dfrac{256}{3} = 128 unidades de área. Integrando de un tirón los aportes se cancelarían en parte y el número no sería el área.

Respuesta: 128128 unidades de área

3. Para f(x)=x2−25f(x) = x^{2} - 25 en [0,10][0, 10], compará el valor de la integral con el área geométrica.

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1. Calculamos la integral de un tirón. ∫010f=2503\int_{0}^{10} f = \dfrac{250}{3}

2. Calculamos el área por tramos. Partiendo en x=5x = 5: 2503\dfrac{250}{3} debajo del eje y 5003\dfrac{500}{3} arriba, o sea 250250 en total.

3. Comparamos los dos números. 2503\dfrac{250}{3} contra 250250: la integral es menor porque el tramo negativo le restó.

4. Interpretamos. La integral es área con signo y el área geométrica no. Coinciden solo cuando la función no cambia de signo en el intervalo.

Respuesta: la integral vale 2503\dfrac{250}{3} y el área 250250

4. Calculá el área entre f(x)=x3−9xf(x) = x^{3} - 9 x y el eje xx en [−3,3][-3, 3].

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1. Buscamos los cambios de signo. x(x−3)(x+3)=0x \left(x - 3\right) \left(x + 3\right) = 0 da x=−3x = -3, x=0x = 0 y x=3x = 3: hay un cruce adentro del intervalo.

2. Estudiamos los dos tramos. En (−3,0)(-3, 0) la función es positiva y en (0,3)(0, 3) es negativa.

3. Integramos cada uno. ∫−30f=814\int_{-3}^{0} f = \dfrac{81}{4} y ∣∫03f∣=814\left|\int_{0}^{3} f\right| = \dfrac{81}{4}.

4. Sumamos. A=812A = \dfrac{81}{2}. La integral de un tirón habría dado cero, porque la función es impar y los dos aportes se cancelan.

Respuesta: 812\dfrac{81}{2} unidades de área

5. Calculá ∫13(x2−4x) dx\int_{1}^{3} \left(x^{2} - 4 x\right)\,dx y decidí si ese número es el área.

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1. Estudiamos el signo del integrando. x(x−4)x \left(x - 4\right) es negativa entre 00 y 44, así que en [1,3][1, 3] la curva está debajo del eje.

2. Calculamos la integral. x2(x−6)3∣13=−223\left.\dfrac{x^{2} \left(x - 6\right)}{3}\right|_{1}^{3} = - \dfrac{22}{3}

3. Interpretamos el signo. La integral mide área con signo: cuenta negativo lo que está debajo del eje. Un área geométrica no puede ser negativa.

4. Escribimos el área. A=∣−223∣=223A = |- \dfrac{22}{3}| = \dfrac{22}{3} unidades de área.

Respuesta: la integral da −223- \dfrac{22}{3} y el área es 223\dfrac{22}{3}

6. Calculá el área entre f(x)=x2−36f(x) = x^{2} - 36 y el eje xx en [0,12][0, 12].

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1. Buscamos dónde cambia de signo. x2−36=0x^{2} - 36 = 0 da x=6x = 6 y x=−6x = -6. Solo 66 cae adentro del intervalo, así que hay que partir ahí.

2. Estudiamos el signo en cada tramo. En (0,6)(0, 6) la función es negativa, por ejemplo f(0)=−36f(0) = -36; en (6,12)(6, 12) es positiva.

3. Hallamos la primitiva. F(x)=x(x2−108)3F(x) = \dfrac{x \left(x^{2} - 108\right)}{3}, la misma para los dos tramos.

4. Integramos cada tramo. ∫06f=F(6)−F(0)=−144\int_{0}^{6} f = F(6) - F(0) = -144, negativo, así que ese tramo aporta 144144 de área. ∫612f=288\int_{6}^{12} f = 288, que ya es positivo.

5. Sumamos. A=144+288=432A = 144 + 288 = 432 unidades de área. Integrando de un tirón los aportes se cancelarían en parte y el número no sería el área.

Respuesta: 432432 unidades de área

7. Para f(x)=x2−36f(x) = x^{2} - 36 en [0,12][0, 12], compará el valor de la integral con el área geométrica.

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1. Calculamos la integral de un tirón. ∫012f=144\int_{0}^{12} f = 144

2. Calculamos el área por tramos. Partiendo en x=6x = 6: 144144 debajo del eje y 288288 arriba, o sea 432432 en total.

3. Comparamos los dos números. 144144 contra 432432: la integral es menor porque el tramo negativo le restó.

4. Interpretamos. La integral es área con signo y el área geométrica no. Coinciden solo cuando la función no cambia de signo en el intervalo.

Respuesta: la integral vale 144144 y el área 432432

8. Calculá el área entre f(x)=x3−36xf(x) = x^{3} - 36 x y el eje xx en [−6,6][-6, 6].

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1. Buscamos los cambios de signo. x(x−6)(x+6)=0x \left(x - 6\right) \left(x + 6\right) = 0 da x=−6x = -6, x=0x = 0 y x=6x = 6: hay un cruce adentro del intervalo.

2. Estudiamos los dos tramos. En (−6,0)(-6, 0) la función es positiva y en (0,6)(0, 6) es negativa.

3. Integramos cada uno. ∫−60f=324\int_{-6}^{0} f = 324 y ∣∫06f∣=324\left|\int_{0}^{6} f\right| = 324.

4. Sumamos. A=648A = 648. La integral de un tirón habría dado cero, porque la función es impar y los dos aportes se cancelan.

Respuesta: 648648 unidades de área

9. Calculá ∫14(x2−4x) dx\int_{1}^{4} \left(x^{2} - 4 x\right)\,dx y decidí si ese número es el área.

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1. Estudiamos el signo del integrando. x(x−4)x \left(x - 4\right) es negativa entre 00 y 44, así que en [1,4][1, 4] la curva está debajo del eje.

2. Calculamos la integral. x2(x−6)3∣14=−9\left.\dfrac{x^{2} \left(x - 6\right)}{3}\right|_{1}^{4} = -9

3. Interpretamos el signo. La integral mide área con signo: cuenta negativo lo que está debajo del eje. Un área geométrica no puede ser negativa.

4. Escribimos el área. A=∣−9∣=9A = |-9| = 9 unidades de área.

Respuesta: la integral da −9-9 y el área es 99

10. Calculá el área entre f(x)=x2−9f(x) = x^{2} - 9 y el eje xx en [0,6][0, 6].

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1. Buscamos dónde cambia de signo. x2−9=0x^{2} - 9 = 0 da x=3x = 3 y x=−3x = -3. Solo 33 cae adentro del intervalo, así que hay que partir ahí.

2. Estudiamos el signo en cada tramo. En (0,3)(0, 3) la función es negativa, por ejemplo f(0)=−9f(0) = -9; en (3,6)(3, 6) es positiva.

3. Hallamos la primitiva. F(x)=x(x2−27)3F(x) = \dfrac{x \left(x^{2} - 27\right)}{3}, la misma para los dos tramos.

4. Integramos cada tramo. ∫03f=F(3)−F(0)=−18\int_{0}^{3} f = F(3) - F(0) = -18, negativo, así que ese tramo aporta 1818 de área. ∫36f=36\int_{3}^{6} f = 36, que ya es positivo.

5. Sumamos. A=18+36=54A = 18 + 36 = 54 unidades de área. Integrando de un tirón los aportes se cancelarían en parte y el número no sería el área.

Respuesta: 5454 unidades de área

11. Para f(x)=x2−49f(x) = x^{2} - 49 en [0,14][0, 14], compará el valor de la integral con el área geométrica.

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1. Calculamos la integral de un tirón. ∫014f=6863\int_{0}^{14} f = \dfrac{686}{3}

2. Calculamos el área por tramos. Partiendo en x=7x = 7: 6863\dfrac{686}{3} debajo del eje y 13723\dfrac{1372}{3} arriba, o sea 686686 en total.

3. Comparamos los dos números. 6863\dfrac{686}{3} contra 686686: la integral es menor porque el tramo negativo le restó.

4. Interpretamos. La integral es área con signo y el área geométrica no. Coinciden solo cuando la función no cambia de signo en el intervalo.

Respuesta: la integral vale 6863\dfrac{686}{3} y el área 686686

12. Calculá el área entre f(x)=x3−4xf(x) = x^{3} - 4 x y el eje xx en [−2,2][-2, 2].

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1. Buscamos los cambios de signo. x(x−2)(x+2)=0x \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) = 0 da x=−2x = -2, x=0x = 0 y x=2x = 2: hay un cruce adentro del intervalo.

2. Estudiamos los dos tramos. En (−2,0)(-2, 0) la función es positiva y en (0,2)(0, 2) es negativa.

3. Integramos cada uno. ∫−20f=4\int_{-2}^{0} f = 4 y ∣∫02f∣=4\left|\int_{0}^{2} f\right| = 4.

4. Sumamos. A=8A = 8. La integral de un tirón habría dado cero, porque la función es impar y los dos aportes se cancelan.

Respuesta: 88 unidades de área

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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