Ejercicios: Área bajo una curva

área

= \int

de a hasta b de f(x) dx si

f \geq 0

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el área encerrada entre $f(x) = x^{2}$ , el eje $x$ y las rectas $x = 1$ y $x = 5$ .

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1. Chequeamos el signo de la función. $x^{2}$ es no negativa en todo el intervalo, así que el área es directamente la integral.

2. Planteamos. $A = \int_{1}^{5} x^{2}\,dx$

3. Hallamos la primitiva y evaluamos. $\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{5} = \dfrac{125 - 1}{3}$

4. Escribimos el resultado. $A = \dfrac{124}{3}$ unidades de área.

Respuesta: $\dfrac{124}{3}$ unidades de área

2. Calculá el área bajo $f(x) = 4x$ entre $x = 0$ y $x = 5$ , y verificala con geometría.

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1. Chequeamos el signo. En $[0, 5]$ la recta es no negativa, así que el área coincide con la integral.

2. Integramos. $\int_{0}^{5} 4x\,dx = \left.2 x^{2}\right|_{0}^{5} = 50$

3. Miramos la región. Es un triángulo de base $5$ y altura $f(5) = 20$ .

4. Verificamos. $\dfrac{5 \cdot 20}{2} = 50$ : coincide.

Respuesta: $50$ unidades de área

3. Calculá el área bajo $f(x) = e^{x}$ entre $x = 0$ y $x = 2$ .

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1. Chequeamos el signo. La exponencial es siempre positiva, así que no hace falta partir el intervalo.

2. Planteamos. $A = \int_{0}^{2} e^{x}\,dx$

3. Integramos y evaluamos. $\left.e^{x}\right|_{0}^{2} = e^{2} - 1$

4. Aproximamos. $A = -1 + e^{2} \approx 6{,}3891$ unidades de área.

Respuesta: $e^{2} - 1 \approx 6{,}3891$ unidades de área

4. Calculá el área encerrada entre $f(x) = 16 - x^{2}$ y el eje $x$ .

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1. Buscamos los límites de integración. El enunciado no los da: salen de las raíces. $16 - x^{2} = 0$ da $x = -4$ y $x = 4$ .

2. Chequeamos el signo entre las raíces. En $x = 0$ vale $16$ , positivo, así que la parábola está por encima del eje en todo el intervalo.

3. Planteamos e integramos. $A = \int_{-4}^{4} \left(16 - x^{2}\right)\,dx = \left.\dfrac{x \left(48 - x^{2}\right)}{3}\right|_{-4}^{4}$

4. Evaluamos. $A = \dfrac{256}{3}$ unidades de área. Cuando el enunciado no da el intervalo, lo definen los cortes con el eje.

Respuesta: $\dfrac{256}{3}$ unidades de área

5. Calculá el área encerrada entre $f(x) = x^{2}$ , el eje $x$ y las rectas $x = 1$ y $x = 4$ .

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1. Chequeamos el signo de la función. $x^{2}$ es no negativa en todo el intervalo, así que el área es directamente la integral.

2. Planteamos. $A = \int_{1}^{4} x^{2}\,dx$

3. Hallamos la primitiva y evaluamos. $\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{4} = \dfrac{64 - 1}{3}$

4. Escribimos el resultado. $A = 21$ unidades de área.

Respuesta: $21$ unidades de área

6. Calculá el área bajo $f(x) = 5x$ entre $x = 0$ y $x = 1$ , y verificala con geometría.

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1. Chequeamos el signo. En $[0, 1]$ la recta es no negativa, así que el área coincide con la integral.

2. Integramos. $\int_{0}^{1} 5x\,dx = \left.\dfrac{5 x^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \dfrac{5}{2}$

3. Miramos la región. Es un triángulo de base $1$ y altura $f(1) = 5$ .

4. Verificamos. $\dfrac{1 \cdot 5}{2} = \dfrac{5}{2}$ : coincide.

Respuesta: $\dfrac{5}{2}$ unidades de área

7. Calculá el área bajo $f(x) = e^{x}$ entre $x = 0$ y $x = 3$ .

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1. Chequeamos el signo. La exponencial es siempre positiva, así que no hace falta partir el intervalo.

2. Planteamos. $A = \int_{0}^{3} e^{x}\,dx$

3. Integramos y evaluamos. $\left.e^{x}\right|_{0}^{3} = e^{3} - 1$

4. Aproximamos. $A = -1 + e^{3} \approx 19{,}0855$ unidades de área.

Respuesta: $e^{3} - 1 \approx 19{,}0855$ unidades de área

8. Calculá el área encerrada entre $f(x) = 9 - x^{2}$ y el eje $x$ .

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1. Buscamos los límites de integración. El enunciado no los da: salen de las raíces. $9 - x^{2} = 0$ da $x = -3$ y $x = 3$ .

2. Chequeamos el signo entre las raíces. En $x = 0$ vale $9$ , positivo, así que la parábola está por encima del eje en todo el intervalo.

3. Planteamos e integramos. $A = \int_{-3}^{3} \left(9 - x^{2}\right)\,dx = \left.\dfrac{x \left(27 - x^{2}\right)}{3}\right|_{-3}^{3}$

4. Evaluamos. $A = 36$ unidades de área. Cuando el enunciado no da el intervalo, lo definen los cortes con el eje.

Respuesta: $36$ unidades de área

9. Calculá el área encerrada entre $f(x) = x^{2}$ , el eje $x$ y las rectas $x = 1$ y $x = 3$ .

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1. Chequeamos el signo de la función. $x^{2}$ es no negativa en todo el intervalo, así que el área es directamente la integral.

2. Planteamos. $A = \int_{1}^{3} x^{2}\,dx$

3. Hallamos la primitiva y evaluamos. $\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{3} = \dfrac{27 - 1}{3}$

4. Escribimos el resultado. $A = \dfrac{26}{3}$ unidades de área.

Respuesta: $\dfrac{26}{3}$ unidades de área

10. Calculá el área bajo $f(x) = 2x$ entre $x = 0$ y $x = 3$ , y verificala con geometría.

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1. Chequeamos el signo. En $[0, 3]$ la recta es no negativa, así que el área coincide con la integral.

2. Integramos. $\int_{0}^{3} 2x\,dx = \left.x^{2}\right|_{0}^{3} = 9$

3. Miramos la región. Es un triángulo de base $3$ y altura $f(3) = 6$ .

4. Verificamos. $\dfrac{3 \cdot 6}{2} = 9$ : coincide.

Respuesta: $9$ unidades de área

11. Calculá el área bajo $f(x) = e^{x}$ entre $x = 0$ y $x = 4$ .

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1. Chequeamos el signo. La exponencial es siempre positiva, así que no hace falta partir el intervalo.

2. Planteamos. $A = \int_{0}^{4} e^{x}\,dx$

3. Integramos y evaluamos. $\left.e^{x}\right|_{0}^{4} = e^{4} - 1$

4. Aproximamos. $A = -1 + e^{4} \approx 53{,}5982$ unidades de área.

Respuesta: $e^{4} - 1 \approx 53{,}5982$ unidades de área

12. Calculá el área encerrada entre $f(x) = 25 - x^{2}$ y el eje $x$ .

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1. Buscamos los límites de integración. El enunciado no los da: salen de las raíces. $25 - x^{2} = 0$ da $x = -5$ y $x = 5$ .

2. Chequeamos el signo entre las raíces. En $x = 0$ vale $25$ , positivo, así que la parábola está por encima del eje en todo el intervalo.

3. Planteamos e integramos. $A = \int_{-5}^{5} \left(25 - x^{2}\right)\,dx = \left.\dfrac{x \left(75 - x^{2}\right)}{3}\right|_{-5}^{5}$

4. Evaluamos. $A = \dfrac{500}{3}$ unidades de área. Cuando el enunciado no da el intervalo, lo definen los cortes con el eje.

Respuesta: $\dfrac{500}{3}$ unidades de área

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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