Área bajo una curva

La aplicación más directa de la integral definida es calcular el área entre una curva y el eje horizontal, en un intervalo dado.

Cuando la función es positiva en todo el intervalo, el área es simplemente la integral. Ese es el caso más simple y el que aparece primero.

Antes de integrar conviene hacer un dibujo aproximado. No hace falta que sea preciso: alcanza con saber si la curva está arriba o abajo del eje, porque eso cambia el planteo.

También conviene buscar las raíces de la función dentro del intervalo, porque son los puntos donde puede cambiar de signo.

El área siempre es un número positivo. Si la cuenta da negativo, no significa que el área sea negativa: significa que la curva estaba por debajo del eje y hay que corregir el planteo.

Las unidades del resultado son unidades de área, o sea el producto de las unidades de los dos ejes. En problemas aplicados eso suele tener un significado concreto.

área

= \int

de a hasta b de f(x) dx si

f \geq 0

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide el área encerrada entre una curva y el eje horizontal. Hacé un bosquejo primero y buscá las raíces en el intervalo, para saber si la curva cambia de lado.

Ejemplo 1

Hallar el área bajo $f(x) = x^{2}$ entre $0$ y $2$ .

Verificamos el signo. $x^{2}$ es positiva o cero en todo el intervalo. Se puede usar la integral directamente.
Hallamos la primitiva. $F(x) = x^{3}/3$
Evaluamos en los dos límites. $F(2) = 8/3$ y $F(0) = 0$ .
Restamos. $8/3 = 8/3$
Respuesta: el área es $8/3 \approx 2{,}67$

Ejemplo 2

Hallar el área encerrada entre $f(x) = 4 - x^{2}$ y el eje $x$ .

Buscamos los límites, que no están dados. Son los cortes con el eje: $4 - x^{2} = 0$ da $x = \pm 2$ .
Verificamos el signo entre esos cortes. En $x = 0$ la función vale $4 > 0$ . Es positiva en todo el intervalo.
Hallamos la primitiva. $F(x) = 4x - x^{3}/3$
Evaluamos. $F(2) = 8 - 8/3 = 16/3$ y $F(-2) = -16/3$ .
Restamos. $16/3 - (-16/3) = 32/3$
Respuesta: el área es $32/3 \approx 10{,}67$

Error típico

Dar por hecho que la función es positiva sin mirarla. Antes de integrar conviene hacer un croquis o verificar el signo, porque si baja del eje el resultado no es el área.

Practicar

← Sustitución en integrales definidas Cuando la curva pasa por debajo →

Otros subtemas de Integrales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .