Longitud de arco

La integral también sirve para medir cuánto mide una curva, no el área que encierra. La idea es aproximar con segmentos rectos, sumar sus longitudes y pasar al límite.

Cada segmento chiquito es la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos son el avance horizontal y el vertical. Por Pitágoras su longitud es la raíz de la suma de los cuadrados, y sacando factor común el avance horizontal aparece la derivada adentro de la raíz.

De ahí sale la fórmula: se integra la raíz de uno más la derivada al cuadrado. La derivada está ahí porque mide la inclinación, y cuanto más empinada es la curva más larga es respecto del intervalo que recorre.

En la práctica estas integrales se complican rápido, porque la raíz casi nunca sale limpia. Los ejercicios de parcial suelen estar armados para que lo de adentro sea un cuadrado perfecto, y ese es el detalle a buscar.

Si la función es constante la derivada es cero, la raíz vale uno y la integral devuelve el largo del intervalo, que es lo que tiene que pasar con un segmento horizontal.

L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} \, dx

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la longitud de una curva. Derivá, elevá al cuadrado, sumá uno y fijate si lo de adentro de la raíz es un cuadrado perfecto: si el ejercicio es de parcial, casi seguro lo es.

Ejemplo 1

Hallar la longitud de $f(x) = 3x + 1$ entre $0$ y $2$ .

Calculamos la derivada. Es constante e igual a $3$ .
Reemplazamos en la fórmula. Adentro de la raíz queda $1 + 9 = 10$ .
Integramos una constante. Da $\sqrt{10}$ por el largo del intervalo.
Verificamos con Pitágoras. El segmento avanza $2$ en horizontal y $6$ en vertical, y la hipotenusa de eso es $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ .
Respuesta: $2\sqrt{10}$

Ejemplo 2

Hallar la longitud de $f(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}$ entre $0$ y $3$ .

Calculamos la derivada. Es $\sqrt{x}$ .
Elevamos al cuadrado y sumamos uno. Adentro de la raíz queda $1 + x$ .
Integramos. La primitiva de $\sqrt{1+x}$ es $\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}$ .
Evaluamos entre $0$ y $3$ . Queda $\frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}$ .
Respuesta: $\frac{14}{3}$

Error típico

Poner la función en vez de su derivada adentro de la raíz. Lo que importa es la pendiente, no la altura.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

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