Integrales casi inmediatas

Muchas integrales parecen inmediatas pero tienen algo adentro que no es la variable sola. Son el paso intermedio entre la tabla y la sustitución.

El caso típico es una función conocida con un argumento lineal adentro, del tipo la variable multiplicada por una constante y sumada a otra.

En ese caso se integra como si fuera inmediata y se divide por la constante que multiplica a la variable. Esa división compensa el factor extra que aparecería al derivar por la regla de la cadena.

La forma de recordarlo es pensar en la verificación. Si uno integra sin dividir y después deriva, la cadena agrega un factor de más. Dividir por esa constante desde el principio es lo que hace que la verificación cierre.

Esto solo funciona si lo de adentro es lineal. Si adentro hay un cuadrado o algo más complicado, la constante no alcanza y hay que hacer una sustitución en serio.

se propone, se deriva y se corrige

Cuándo se usa

Cuando adentro de una función conocida hay una expresión lineal, del tipo dos por la variable más tres. Integrás como si fuera inmediata y dividís por el coeficiente que acompaña a la variable.

Ejemplo 1

Calcular $\int e^(5x) \, dx$ .

Proponemos la primitiva obvia. Si no estuviera el $5$ , sería $e^{x}$ . Proponemos $e^(5x)$ .
Derivamos para ver qué sobra. Por la regla de la cadena, $(e^(5x)) ' = 5 e^(5x)$ . Sobra un $5$ .
Dividimos por lo que sobró. $e^(5x) / 5$
Verificamos. $(e^(5x)/5) ' = 5 e^(5x)/5 = e^(5x)$ . Correcto.
Respuesta: $\int e^(5x) \, dx = e^(5x)/5 + C$

Ejemplo 2

Calcular $\int (2x + 1)^{4} \, dx$ .

Proponemos aplicando la regla de la potencia. El exponente sube a $5$ y se divide por $5$ : proponemos $(2x + 1)^{5} / 5$ .
Derivamos para ver qué sobra. Con la cadena: $5(2x+1)^{4} \cdot 2 / 5 = 2(2x+1)^{4}$ . Sobra un $2$ .
Dividimos por $2$ . $(2x + 1)^{5} / 10$
Verificamos. $5(2x+1)^{4} \cdot 2 / 10 = (2x+1)^{4}$ . Correcto.
Respuesta: $\int (2x+1)^{4} \, dx = (2x+1)^{5} / 10 + C$

Error típico

Multiplicar por lo que sobra en vez de dividir. Si al derivar aparece un $3$ de más, hay que dividir por $3$ para cancelarlo, no multiplicar.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .