Ejercicios: Integrales casi inmediatas

se propone, se deriva y se corrige

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá $\int e^{3 x + 2}\,dx$ .

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1. Comparamos con la inmediata. Si adentro estuviera solo $x$ , la primitiva sería la misma exponencial.

2. Proponemos ese candidato y lo derivamos. $\left(e^{3 x + 2}\right)' = 3e^{3 x + 2}$ : sobra un factor $3$ .

3. Corregimos dividiendo. Multiplicamos por $\dfrac{1}{3}$ para compensar.

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{e^{3 x + 2}}{3} + C$ , y derivando se recupera el integrando.

Respuesta: $\dfrac{e^{3 x + 2}}{3} + C$

2. Calculá $\int \operatorname{sen}(3 x + 2)\,dx$ .

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1. Escribimos la primitiva del caso inmediato. La primitiva de $\operatorname{sen} u$ es $-\cos u$ .

2. Proponemos y derivamos. $\left(-\cos(3 x + 2)\right)' = 3\operatorname{sen}(3 x + 2)$ : sobra el $3$ .

3. Corregimos. Dividimos por $3$ .

4. Escribimos el resultado. $-\dfrac{\cos(3 x + 2)}{3} + C$ . El factor de corrección aparece porque adentro hay una función lineal y no la variable sola.

Respuesta: $-\dfrac{\cos(3 x + 2)}{3} + C$

3. Calculá $\int \dfrac{1}{4 x + 3}\,dx$ .

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1. Comparamos con la inmediata. Con la variable sola, la primitiva sería $\ln|x|$ .

2. Proponemos y derivamos. $\left(\ln|4 x + 3|\right)' = \dfrac{4}{4 x + 3}$ : sobra el factor $4$ .

3. Corregimos. Dividimos por $4$ .

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{\ln|4 x + 3|}{4} + C$

Respuesta: $\dfrac{\ln|4 x + 3|}{4} + C$

4. Calculá $\int (6 x + 1)^{3}\,dx$ .

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1. Aplicamos la regla de la potencia como si fuera inmediata. $\dfrac{(6 x + 1)^{4}}{4}$

2. Derivamos para controlar. Por la regla de la cadena aparece un factor $6$ de más.

3. Corregimos dividiendo. Multiplicamos por $\dfrac{1}{6}$ .

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{(6 x + 1)^{4}}{24} + C$ . Esto solo funciona porque lo de adentro es lineal: con algo de grado mayor hace falta sustitución.

Respuesta: $\dfrac{(6 x + 1)^{4}}{24} + C$

5. Calculá $\int e^{4 x + 3}\,dx$ .

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1. Comparamos con la inmediata. Si adentro estuviera solo $x$ , la primitiva sería la misma exponencial.

2. Proponemos ese candidato y lo derivamos. $\left(e^{4 x + 3}\right)' = 4e^{4 x + 3}$ : sobra un factor $4$ .

3. Corregimos dividiendo. Multiplicamos por $\dfrac{1}{4}$ para compensar.

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{e^{4 x + 3}}{4} + C$ , y derivando se recupera el integrando.

Respuesta: $\dfrac{e^{4 x + 3}}{4} + C$

6. Calculá $\int \operatorname{sen}(4 x + 3)\,dx$ .

Ver solución

1. Escribimos la primitiva del caso inmediato. La primitiva de $\operatorname{sen} u$ es $-\cos u$ .

2. Proponemos y derivamos. $\left(-\cos(4 x + 3)\right)' = 4\operatorname{sen}(4 x + 3)$ : sobra el $4$ .

3. Corregimos. Dividimos por $4$ .

4. Escribimos el resultado. $-\dfrac{\cos(4 x + 3)}{4} + C$ . El factor de corrección aparece porque adentro hay una función lineal y no la variable sola.

Respuesta: $-\dfrac{\cos(4 x + 3)}{4} + C$

7. Calculá $\int \dfrac{1}{5 x + 1}\,dx$ .

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1. Comparamos con la inmediata. Con la variable sola, la primitiva sería $\ln|x|$ .

2. Proponemos y derivamos. $\left(\ln|5 x + 1|\right)' = \dfrac{5}{5 x + 1}$ : sobra el factor $5$ .

3. Corregimos. Dividimos por $5$ .

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{\ln|5 x + 1|}{5} + C$

Respuesta: $\dfrac{\ln|5 x + 1|}{5} + C$

8. Calculá $\int (7 x + 2)^{4}\,dx$ .

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1. Aplicamos la regla de la potencia como si fuera inmediata. $\dfrac{(7 x + 2)^{5}}{5}$

2. Derivamos para controlar. Por la regla de la cadena aparece un factor $7$ de más.

3. Corregimos dividiendo. Multiplicamos por $\dfrac{1}{7}$ .

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{(7 x + 2)^{5}}{35} + C$ . Esto solo funciona porque lo de adentro es lineal: con algo de grado mayor hace falta sustitución.

Respuesta: $\dfrac{(7 x + 2)^{5}}{35} + C$

9. Calculá $\int e^{6 x + 5}\,dx$ .

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1. Comparamos con la inmediata. Si adentro estuviera solo $x$ , la primitiva sería la misma exponencial.

2. Proponemos ese candidato y lo derivamos. $\left(e^{6 x + 5}\right)' = 6e^{6 x + 5}$ : sobra un factor $6$ .

3. Corregimos dividiendo. Multiplicamos por $\dfrac{1}{6}$ para compensar.

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{e^{6 x + 5}}{6} + C$ , y derivando se recupera el integrando.

Respuesta: $\dfrac{e^{6 x + 5}}{6} + C$

10. Calculá $\int \operatorname{sen}(5 x + 1)\,dx$ .

Ver solución

1. Escribimos la primitiva del caso inmediato. La primitiva de $\operatorname{sen} u$ es $-\cos u$ .

2. Proponemos y derivamos. $\left(-\cos(5 x + 1)\right)' = 5\operatorname{sen}(5 x + 1)$ : sobra el $5$ .

3. Corregimos. Dividimos por $5$ .

4. Escribimos el resultado. $-\dfrac{\cos(5 x + 1)}{5} + C$ . El factor de corrección aparece porque adentro hay una función lineal y no la variable sola.

Respuesta: $-\dfrac{\cos(5 x + 1)}{5} + C$

11. Calculá $\int \dfrac{1}{3 x + 2}\,dx$ .

Ver solución

1. Comparamos con la inmediata. Con la variable sola, la primitiva sería $\ln|x|$ .

2. Proponemos y derivamos. $\left(\ln|3 x + 2|\right)' = \dfrac{3}{3 x + 2}$ : sobra el factor $3$ .

3. Corregimos. Dividimos por $3$ .

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{\ln|3 x + 2|}{3} + C$

Respuesta: $\dfrac{\ln|3 x + 2|}{3} + C$

12. Calculá $\int (3 x + 1)^{5}\,dx$ .

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1. Aplicamos la regla de la potencia como si fuera inmediata. $\dfrac{(3 x + 1)^{6}}{6}$

2. Derivamos para controlar. Por la regla de la cadena aparece un factor $3$ de más.

3. Corregimos dividiendo. Multiplicamos por $\dfrac{1}{3}$ .

4. Escribimos el resultado. $\dfrac{(3 x + 1)^{6}}{18} + C$ . Esto solo funciona porque lo de adentro es lineal: con algo de grado mayor hace falta sustitución.

Respuesta: $\dfrac{(3 x + 1)^{6}}{18} + C$

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