Ejercicios: Sustitución: la idea

2. Definimos la sustitución. $u = x^{2} + 2$, entonces $du = 2x\,dx$.

3. Reescribimos la integral. $\int u^{5}\,du = \dfrac{u^{6}}{6} + C$

4. Volvemos a la variable original. $\dfrac{(x^{2} + 2)^{6}}{6} + C$. La sustitución es la regla de la cadena leída al revés.

Respuesta: $\dfrac{(x^{2} + 2)^{6}}{6} + C$

2. Definimos la sustitución. $u = x^{2}$, entonces $du = 2x\,dx$, o sea $2x\,dx = \dfrac{2}{2}\,du$.

3. Reescribimos. $\dfrac{2}{2}\int e^{u}\,du = \dfrac{2}{2}e^{u} + C$

4. Volvemos a $x$. $e^{x^{2}} + C$, y derivando se recupera el integrando.

Respuesta: $e^{x^{2}} + C$

2. Definimos la sustitución. $u = \operatorname{sen} x$, entonces $du = \cos x\,dx$.

3. Reescribimos e integramos. $\int u^{2}\,du = \dfrac{u^{3}}{3} + C$

4. Volvemos a la variable original. $\dfrac{\operatorname{sen}^{3} x}{3} + C$

Respuesta: $\dfrac{\operatorname{sen}^{3} x}{3} + C$

2. Volvemos a $x$. $\operatorname{sen}(3x^{2}) + C$

3. Verificamos derivando. $\left(\operatorname{sen}(3x^{2})\right)' = \cos(3x^{2}) \cdot 6x$, que es el integrando.

4. Explicamos por qué. Al derivar una composición aparece la derivada de adentro multiplicando. La sustitución reconoce ese factor y lo usa para deshacer la cadena: por eso hace falta que esté presente en el integrando.

Respuesta: $\operatorname{sen}(3x^{2}) + C$

2. Definimos la sustitución. $u = x^{2} + 5$, entonces $du = 2x\,dx$.

3. Reescribimos la integral. $\int u^{3}\,du = \dfrac{u^{4}}{4} + C$

4. Volvemos a la variable original. $\dfrac{(x^{2} + 5)^{4}}{4} + C$. La sustitución es la regla de la cadena leída al revés.

Respuesta: $\dfrac{(x^{2} + 5)^{4}}{4} + C$

2. Definimos la sustitución. $u = x^{2}$, entonces $du = 2x\,dx$, o sea $5x\,dx = \dfrac{5}{2}\,du$.

3. Reescribimos. $\dfrac{5}{2}\int e^{u}\,du = \dfrac{5}{2}e^{u} + C$

4. Volvemos a $x$. $\dfrac{5}{2}e^{x^{2}} + C$, y derivando se recupera el integrando.

Respuesta: $\dfrac{5}{2}e^{x^{2}} + C$

2. Definimos la sustitución. $u = \operatorname{sen} x$, entonces $du = \cos x\,dx$.

3. Reescribimos e integramos. $\int u^{4}\,du = \dfrac{u^{5}}{5} + C$

4. Volvemos a la variable original. $\dfrac{\operatorname{sen}^{5} x}{5} + C$

Respuesta: $\dfrac{\operatorname{sen}^{5} x}{5} + C$

2. Volvemos a $x$. $\operatorname{sen}(7x^{2}) + C$

3. Verificamos derivando. $\left(\operatorname{sen}(7x^{2})\right)' = \cos(7x^{2}) \cdot 14x$, que es el integrando.

4. Explicamos por qué. Al derivar una composición aparece la derivada de adentro multiplicando. La sustitución reconoce ese factor y lo usa para deshacer la cadena: por eso hace falta que esté presente en el integrando.

Respuesta: $\operatorname{sen}(7x^{2}) + C$

2. Definimos la sustitución. $u = x^{2} + 7$, entonces $du = 2x\,dx$.

3. Reescribimos la integral. $\int u^{3}\,du = \dfrac{u^{4}}{4} + C$

4. Volvemos a la variable original. $\dfrac{(x^{2} + 7)^{4}}{4} + C$. La sustitución es la regla de la cadena leída al revés.

Respuesta: $\dfrac{(x^{2} + 7)^{4}}{4} + C$

2. Definimos la sustitución. $u = x^{2}$, entonces $du = 2x\,dx$, o sea $6x\,dx = \dfrac{6}{2}\,du$.

3. Reescribimos. $\dfrac{6}{2}\int e^{u}\,du = \dfrac{6}{2}e^{u} + C$

4. Volvemos a $x$. $3e^{x^{2}} + C$, y derivando se recupera el integrando.

Respuesta: $3e^{x^{2}} + C$

2. Definimos la sustitución. $u = \operatorname{sen} x$, entonces $du = \cos x\,dx$.

3. Reescribimos e integramos. $\int u^{5}\,du = \dfrac{u^{6}}{6} + C$

4. Volvemos a la variable original. $\dfrac{\operatorname{sen}^{6} x}{6} + C$

Respuesta: $\dfrac{\operatorname{sen}^{6} x}{6} + C$

2. Volvemos a $x$. $\operatorname{sen}(2x^{2}) + C$

3. Verificamos derivando. $\left(\operatorname{sen}(2x^{2})\right)' = \cos(2x^{2}) \cdot 4x$, que es el integrando.

4. Explicamos por qué. Al derivar una composición aparece la derivada de adentro multiplicando. La sustitución reconoce ese factor y lo usa para deshacer la cadena: por eso hace falta que esté presente en el integrando.

Respuesta: $\operatorname{sen}(2x^{2}) + C$