Sustitución: la idea

La sustitución es la regla de la cadena leída al revés. Sirve cuando el integrando tiene una función adentro de otra, y además está la derivada de la función interior multiplicando.

Lo que se hace es ponerle un nombre nuevo a la parte de adentro. Con ese cambio, el integrando se convierte en algo más simple, casi siempre una integral de tabla.

El paso que hace funcionar todo es el diferencial. Al cambiar la variable también hay que cambiar el diferencial, y eso se hace derivando la sustitución elegida. Ahí es donde se cancela la derivada que estaba multiplicando en el integrando.

Si esa derivada no está, la sustitución no cierra. Queda una expresión con las dos variables mezcladas y eso es señal de que hay que elegir otra sustitución o probar otra técnica.

Al final hay que volver a la variable original, reemplazando de nuevo. Dejar la respuesta en la variable auxiliar es una respuesta incompleta, porque el ejercicio estaba planteado en la otra.

u = g(x)

, entonces du

= g'(x)

Cuándo se usa

Cuando ves una función compuesta y además está la derivada de lo de adentro multiplicando. Nombrá lo de adentro, cambiá el diferencial derivando esa elección, y al final volvé a la variable original.

Ejemplo 1

Calcular $\int 2x \cos(x^{2}) \, dx$ .

Elegimos u como lo de adentro. $u = x^{2}$ .
Escribimos du derivando. $du = 2x \, dx$ . Y el $2x \, dx$ está en la integral.
Reemplazamos todo. $\int \cos u du$ . No quedó ninguna $x$ .
Integramos. $\operatorname{sen} u + C$
Volvemos a x. $\operatorname{sen}(x^{2}) + C$
Respuesta: $\int 2x \cos(x^{2}) \, dx = \operatorname{sen}(x^{2}) + C$

Ejemplo 2

Calcular $\int 3x^{2} (x^{3} + 1)^{5} \, dx$ .

Elegimos u como lo de adentro del paréntesis. $u = x^{3} + 1$ .
Escribimos du. $du = 3x^{2} \, dx$ , y el $3x^{2} \, dx$ está presente.
Reemplazamos. $\int u^{5} du$
Integramos con la regla de la potencia. $u^{6} / 6 + C$
Volvemos a x. $(x^{3} + 1)^{6} / 6 + C$
Respuesta: $(x^{3} + 1)^{6} / 6 + C$

Error típico

Dejar la respuesta en función de $u$ . La variable $u$ la inventaste vos para resolver: al final tiene que desaparecer y volver todo a $x$ .

Practicar

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