El teorema fundamental

El teorema fundamental conecta las dos mitades del cálculo: dice que derivar e integrar son operaciones inversas. Es el resultado más importante de la materia.

Tiene dos partes. La primera dice que si se define una función como la integral desde un punto fijo hasta uno variable, esa función nueva tiene por derivada al integrando original. O sea que integrar y después derivar devuelve el punto de partida.

La segunda parte es la que se usa para calcular. Dice que para hallar una integral definida alcanza con encontrar una primitiva, evaluarla en los dos extremos y restar. Se conoce como regla de Barrow.

El impacto práctico es enorme: un problema de sumas infinitas se resuelve con una resta de dos números.

En la resta la constante de integración se cancela consigo misma, así que en las integrales definidas no hace falta escribirla.

El orden de la resta importa: primero el extremo de arriba y después el de abajo. Invertirlo cambia el signo del resultado.

\int

de a hasta b de f(x) dx

= F(b) - F(a)

Cuándo se usa

Cada vez que calculás una integral definida: hallás la primitiva, evaluás arriba, evaluás abajo y restás en ese orden. La primera parte del teorema aparece cuando hay que derivar una función definida como integral.

Ejemplo 1

Calcular la integral definida de $x^{2}$ entre $0$ y $2$ .

Hallamos una primitiva. $F(x) = x^{3}/3$ . No hace falta la constante.
Evaluamos en el límite de arriba. $F(2) = 8/3$ .
Evaluamos en el de abajo. $F(0) = 0$ .
Restamos. $8/3 = 8/3$
Respuesta: la integral vale $8/3$

Ejemplo 2

Calcular la integral definida de $\cos x$ entre $0$ y $\pi /2$ .

Hallamos una primitiva. $F(x) = \operatorname{sen} x$ .
Evaluamos arriba. $F(\pi /2) = \operatorname{sen}(\pi /2) = 1$ .
Evaluamos abajo. $F(0) = \operatorname{sen} 0 = 0$ .
Restamos. $1 = 1$
Respuesta: la integral vale $1$

Error típico

Restar al revés, calculando $F(a) - F(b)$ . El resultado da con el signo cambiado. Primero va siempre el límite de arriba.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

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