Suma, resta y constante

La integral de una suma es la suma de las integrales, y lo mismo con la resta. Eso permite partir un integrando largo y resolver término por término.

Las constantes que multiplican salen afuera de la integral. Si hay un número multiplicando todo, se lo saca y se integra lo que queda.

Con estas dos propiedades más la tabla ya se integra cualquier polinomio, que es el caso más simple y el que aparece primero.

Igual que con las derivadas, estas propiedades no valen para productos ni cocientes. La integral de un producto no es el producto de las integrales, y ese error es todavía más grave acá que en derivadas, porque no hay una regla del producto para integrar: hay técnicas, que es otra cosa.

Cuando aparece una sola constante de integración al final alcanza, aunque se hayan integrado varios términos. Todas las constantes parciales se juntan en una sola.

\int [ f \pm g ]

= \int f

\pm \int g

\int k \cdot f

= k \int f

Cuándo se usa

Cuando el integrando es una suma de términos: integrá cada uno por separado. Si hay un número multiplicando, sacalo afuera. Pero si hay dos funciones multiplicándose, esto no sirve y hay que buscar una técnica.

Ejemplo 1

Calcular $\int (4x^{3} - 6x^{2} + 2) \, dx$ .

Separamos en tres integrales. La integral respeta sumas y restas.
Integramos el primer término. El exponente sube a $4$ y se divide: $4x^{4}/4 = x^{4}$ .
Integramos el segundo. $6x^{3}/3 = 2x^{3}$ , con el signo menos: $-2x^{3}$ .
Integramos el tercero. La constante $2$ se convierte en $2x$ .
Unimos y agregamos una sola constante. $x^{4} - 2x^{3} + 2x + C$
Respuesta: $x^{4} - 2x^{3} + 2x + C$

Ejemplo 2

Calcular $\int x(x + 3) \, dx$ .

Notamos que es un producto. No hay regla del producto para integrales, así que no se puede integrar cada factor por separado.
Desarrollamos primero. $x(x + 3) = x^{2} + 3x$
Ahora sí integramos término a término. $x^{3}/3$ y $3x^{2}/2$ .
Unimos. $x^{3}/3 + 3x^{2}/2 + C$
Respuesta: $x^{3}/3 + 3x^{2}/2 + C$

Error típico

Poner una constante $C$ por cada término. Como la suma de varias constantes es otra constante, alcanza con una sola al final de toda la expresión.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

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