Volúmenes de revolución

Si una región plana gira alrededor de un eje, barre un sólido. La integral permite calcular su volumen con la misma idea con la que se calculaba área: cortar en pedazos, sumar y pasar al límite.

El método de los discos corta el sólido con planos perpendiculares al eje de giro. Cada corte es un círculo cuyo radio es el valor de la función, así que su área depende del cuadrado de ese radio. Sumando los discos a lo largo del intervalo se obtiene el volumen.

Lo único que hay que retener es que la función va al cuadrado, porque el área de un círculo depende del cuadrado del radio. Ese cuadrado es lo que más se olvida.

Cuando la región no toca el eje de giro, el corte no es un círculo lleno sino una arandela: hay un radio exterior y uno interior. El área es la diferencia de las dos, y la resta va entre los cuadrados, no entre los radios.

El eje de giro cambia todo. Girando alrededor del eje horizontal se integra respecto de la variable horizontal; girando alrededor del vertical conviene despejar y cambiar de variable.

V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} \, dx

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio habla de girar una región alrededor de un eje. Identificá el radio de cada disco, elevalo al cuadrado y multiplicá por pi. Si hay un hueco, restá los cuadrados de los dos radios.

Ejemplo 1

Hallar el volumen del sólido que se obtiene al girar $f(x) = x$ entre $0$ y $1$ alrededor del eje $x$ .

Identificamos el radio de cada disco. Es el valor de la función, o sea $x$ .
Armamos la integral. Queda $\pi \int_{0}^{1} x^{2} \, dx$ .
Calculamos la primitiva. Es $\frac{x^{3}}{3}$ .
Evaluamos entre $0$ y $1$ . Da $\frac{1}{3}$ .
Multiplicamos por $\pi$ . El sólido es un cono, y coincide con la fórmula conocida.
Respuesta: $\frac{\pi}{3}$

Ejemplo 2

Hallar el volumen al girar $f(x) = \sqrt{x}$ entre $0$ y $4$ alrededor del eje $x$ .

Identificamos el radio. Es $\sqrt{x}$ .
Elevamos al cuadrado. La raíz se cancela y queda simplemente $x$ .
Armamos la integral. Es $\pi \int_{0}^{4} x \, dx$ .
Calculamos y evaluamos. La primitiva es $\frac{x^{2}}{2}$ , que entre $0$ y $4$ da $8$ .
Respuesta: $8\pi$

Error típico

Restar los radios y después elevar al cuadrado. Va al revés: primero se eleva cada radio y después se restan las áreas.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

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