Ejercicios: Volúmenes de revolución

V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} \, dx

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá el volumen del sólido que se obtiene al girar $f(x) = 5x$ alrededor del eje $x$ , entre $x = 0$ y $x = 2$ .

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1. Escribimos la fórmula de los discos. $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx$ : cada corte perpendicular al eje es un círculo de radio $f(x)$ .

2. Escribimos el integrando. $[f(x)]^{2} = 25 x^{2}$

3. Integramos. $V = \pi\left.\dfrac{25 x^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \dfrac{200 \pi}{3}$

4. Verificamos con geometría. El sólido es un cono de radio $10$ y altura $2$ , y $\dfrac{\pi r^{2}h}{3}$ da lo mismo.

Respuesta: $V = \dfrac{200 \pi}{3}$

2. Hallá el volumen del sólido que se obtiene al girar $f(x) = \sqrt{x}$ alrededor del eje $x$ , entre $x = 0$ y $x = 3$ .

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1. Aplicamos la fórmula de los discos. $V = \pi \int_{0}^{3} \left(\sqrt{x}\right)^{2}\,dx$

2. Simplificamos el integrando. $\left(\sqrt{x}\right)^{2} = x$ , así que la raíz desaparece al elevar al cuadrado.

3. Integramos. $V = \pi\left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{3} = \dfrac{9 \pi}{2}$

4. Interpretamos. El elevar al cuadrado que pide la fórmula suele simplificar el integrando: por eso muchos volúmenes son más fáciles que las áreas correspondientes.

Respuesta: $V = \dfrac{9 \pi}{2}$

3. Hallá el volumen que se obtiene al girar la región entre $f(x) = x^{2}$ y el eje $x$ , con $0 \leq x \leq 6$ , alrededor del eje $x$ .

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1. Identificamos el radio de cada disco. Al girar alrededor del eje $x$ , el radio es la altura de la curva: $f(x) = x^{2}$ .

2. Planteamos. $V = \pi \int_{0}^{6} x^{4}\,dx$

3. Integramos. $V = \pi\left.\dfrac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{6}$

4. Evaluamos. $V = \dfrac{7776 \pi}{5}$

Respuesta: $V = \dfrac{7776 \pi}{5}$

4. Hallá el volumen de la esfera de radio $2$ girando $f(x) = \sqrt{4 - x^{2}}$ alrededor del eje $x$ .

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1. Identificamos la región. La curva es la semicircunferencia superior de radio $2$ , entre $x = -2$ y $x = 2$ .

2. Planteamos con discos. $V = \pi \int_{-2}^{2} \left(4 - x^{2}\right)\,dx$

3. Integramos. $V = \pi\left.\left(4x - \dfrac{x^{3}}{3}\right)\right|_{-2}^{2} = \dfrac{32 \pi}{3}$

4. Verificamos con la fórmula conocida. $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ con $r = 2$ da $\dfrac{32 \pi}{3}$ : coincide, y esa es la deducción de la fórmula.

Respuesta: $V = \dfrac{32 \pi}{3}$

5. Hallá el volumen del sólido que se obtiene al girar $f(x) = 2x$ alrededor del eje $x$ , entre $x = 0$ y $x = 5$ .

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1. Escribimos la fórmula de los discos. $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx$ : cada corte perpendicular al eje es un círculo de radio $f(x)$ .

2. Escribimos el integrando. $[f(x)]^{2} = 4 x^{2}$

3. Integramos. $V = \pi\left.\dfrac{4 x^{3}}{3}\right|_{0}^{5} = \dfrac{500 \pi}{3}$

4. Verificamos con geometría. El sólido es un cono de radio $10$ y altura $5$ , y $\dfrac{\pi r^{2}h}{3}$ da lo mismo.

Respuesta: $V = \dfrac{500 \pi}{3}$

6. Hallá el volumen del sólido que se obtiene al girar $f(x) = \sqrt{x}$ alrededor del eje $x$ , entre $x = 0$ y $x = 7$ .

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1. Aplicamos la fórmula de los discos. $V = \pi \int_{0}^{7} \left(\sqrt{x}\right)^{2}\,dx$

2. Simplificamos el integrando. $\left(\sqrt{x}\right)^{2} = x$ , así que la raíz desaparece al elevar al cuadrado.

3. Integramos. $V = \pi\left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{7} = \dfrac{49 \pi}{2}$

4. Interpretamos. El elevar al cuadrado que pide la fórmula suele simplificar el integrando: por eso muchos volúmenes son más fáciles que las áreas correspondientes.

Respuesta: $V = \dfrac{49 \pi}{2}$

7. Hallá el volumen que se obtiene al girar la región entre $f(x) = x^{2}$ y el eje $x$ , con $0 \leq x \leq 3$ , alrededor del eje $x$ .

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1. Identificamos el radio de cada disco. Al girar alrededor del eje $x$ , el radio es la altura de la curva: $f(x) = x^{2}$ .

2. Planteamos. $V = \pi \int_{0}^{3} x^{4}\,dx$

3. Integramos. $V = \pi\left.\dfrac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{3}$

4. Evaluamos. $V = \dfrac{243 \pi}{5}$

Respuesta: $V = \dfrac{243 \pi}{5}$

8. Hallá el volumen de la esfera de radio $4$ girando $f(x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ alrededor del eje $x$ .

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1. Identificamos la región. La curva es la semicircunferencia superior de radio $4$ , entre $x = -4$ y $x = 4$ .

2. Planteamos con discos. $V = \pi \int_{-4}^{4} \left(16 - x^{2}\right)\,dx$

3. Integramos. $V = \pi\left.\left(16x - \dfrac{x^{3}}{3}\right)\right|_{-4}^{4} = \dfrac{256 \pi}{3}$

4. Verificamos con la fórmula conocida. $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ con $r = 4$ da $\dfrac{256 \pi}{3}$ : coincide, y esa es la deducción de la fórmula.

Respuesta: $V = \dfrac{256 \pi}{3}$

9. Hallá el volumen del sólido que se obtiene al girar $f(x) = 4x$ alrededor del eje $x$ , entre $x = 0$ y $x = 1$ .

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1. Escribimos la fórmula de los discos. $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx$ : cada corte perpendicular al eje es un círculo de radio $f(x)$ .

2. Escribimos el integrando. $[f(x)]^{2} = 16 x^{2}$

3. Integramos. $V = \pi\left.\dfrac{16 x^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \dfrac{16 \pi}{3}$

4. Verificamos con geometría. El sólido es un cono de radio $4$ y altura $1$ , y $\dfrac{\pi r^{2}h}{3}$ da lo mismo.

Respuesta: $V = \dfrac{16 \pi}{3}$

10. Hallá el volumen del sólido que se obtiene al girar $f(x) = \sqrt{x}$ alrededor del eje $x$ , entre $x = 0$ y $x = 2$ .

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1. Aplicamos la fórmula de los discos. $V = \pi \int_{0}^{2} \left(\sqrt{x}\right)^{2}\,dx$

2. Simplificamos el integrando. $\left(\sqrt{x}\right)^{2} = x$ , así que la raíz desaparece al elevar al cuadrado.

3. Integramos. $V = \pi\left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = 2 \pi$

4. Interpretamos. El elevar al cuadrado que pide la fórmula suele simplificar el integrando: por eso muchos volúmenes son más fáciles que las áreas correspondientes.

Respuesta: $V = 2 \pi$

11. Hallá el volumen que se obtiene al girar la región entre $f(x) = x^{2}$ y el eje $x$ , con $0 \leq x \leq 1$ , alrededor del eje $x$ .

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1. Identificamos el radio de cada disco. Al girar alrededor del eje $x$ , el radio es la altura de la curva: $f(x) = x^{2}$ .

2. Planteamos. $V = \pi \int_{0}^{1} x^{4}\,dx$

3. Integramos. $V = \pi\left.\dfrac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{1}$

4. Evaluamos. $V = \dfrac{\pi}{5}$

Respuesta: $V = \dfrac{\pi}{5}$

12. Hallá el volumen de la esfera de radio $6$ girando $f(x) = \sqrt{36 - x^{2}}$ alrededor del eje $x$ .

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1. Identificamos la región. La curva es la semicircunferencia superior de radio $6$ , entre $x = -6$ y $x = 6$ .

2. Planteamos con discos. $V = \pi \int_{-6}^{6} \left(36 - x^{2}\right)\,dx$

3. Integramos. $V = \pi\left.\left(36x - \dfrac{x^{3}}{3}\right)\right|_{-6}^{6} = 288 \pi$

4. Verificamos con la fórmula conocida. $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ con $r = 6$ da $288 \pi$ : coincide, y esa es la deducción de la fórmula.

Respuesta: $V = 288 \pi$

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