Ejercicios: Longitud de arco

1. Calculá la longitud del arco de $f(x) = 2x$ entre $x = 0$ y $x = 6$ , y verificá con Pitágoras.

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1. Escribimos la fórmula. $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\,dx$

2. Calculamos la derivada. $f'(x) = 2$ , constante, así que el integrando es $\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ .

3. Integramos. $L = \sqrt{5} \cdot 6 = 6 \sqrt{5} \approx 13{,}4164$

4. Verificamos con Pitágoras. El segmento va de $(0, 0)$ a $(6, 12)$ , y $\sqrt{36 + 144} = 6 \sqrt{5}$ : coincide.

Respuesta: $L = 6 \sqrt{5} \approx 13{,}4164$

2. Calculá la longitud del arco de $f(x) = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ entre $x = 0$ y $x = 2$ .

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1. Derivamos. $f'(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$

2. Armamos el integrando. $\sqrt{1 + \left(\sqrt{x}\right)^{2}} = \sqrt{1 + x}$ : la raíz de afuera se simplifica bien, y por eso esta función es el ejemplo clásico del tema.

3. Integramos. $\int_{0}^{2} \sqrt{1 + x}\,dx = \left.\dfrac{2}{3}(1 + x)^{3/2}\right|_{0}^{2}$

4. Evaluamos. $L = - \dfrac{2}{3} + 2 \sqrt{3} \approx 2{,}7974$

Respuesta: $L = - \dfrac{2}{3} + 2 \sqrt{3} \approx 2{,}7974$

3. Planteá la integral que da la longitud del arco de $f(x) = x^{2}$ entre $x = 0$ y $x = 2$ , sin resolverla.

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1. Escribimos la fórmula. $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\,dx$

2. Derivamos. $f'(x) = 2x$

3. Reemplazamos. $L = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx$

4. Comentamos por qué se deja planteada. Esa integral necesita sustitución trigonométrica y el resultado tiene logaritmos: la mayoría de las longitudes de arco no salen con técnicas elementales, y eso es normal.

Respuesta: $L = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx$

4. Explicá de dónde sale la fórmula de longitud de arco y aplicala a $f(x) = 5$ entre $x = 0$ y $x = 10$ .

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1. Aproximamos con segmentos. Se parte la curva en pedacitos y cada uno se reemplaza por un segmento recto.

2. Aplicamos Pitágoras a cada pedacito. El segmento es la hipotenusa de un triángulo de catetos $\Delta x$ y $\Delta y$ , así que mide $\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$ .

3. Sacamos $\Delta x$ de factor común. Queda $\sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}\,\Delta x$ , y al pasar al límite el cociente se vuelve $f'(x)$ .

4. Aplicamos al caso pedido. $f'(x) = 0$ , así que $L = \int_{0}^{10} 1\,dx = 10$ , que es lo que mide el segmento horizontal.

Respuesta: $L = 10$

5. Calculá la longitud del arco de $f(x) = x$ entre $x = 0$ y $x = 5$ , y verificá con Pitágoras.

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1. Escribimos la fórmula. $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\,dx$

2. Calculamos la derivada. $f'(x) = 1$ , constante, así que el integrando es $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ .

3. Integramos. $L = \sqrt{2} \cdot 5 = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}0711$

4. Verificamos con Pitágoras. El segmento va de $(0, 0)$ a $(5, 5)$ , y $\sqrt{25 + 25} = 5 \sqrt{2}$ : coincide.

Respuesta: $L = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}0711$

6. Calculá la longitud del arco de $f(x) = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ entre $x = 0$ y $x = 5$ .

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1. Derivamos. $f'(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$

2. Armamos el integrando. $\sqrt{1 + \left(\sqrt{x}\right)^{2}} = \sqrt{1 + x}$ : la raíz de afuera se simplifica bien, y por eso esta función es el ejemplo clásico del tema.

3. Integramos. $\int_{0}^{5} \sqrt{1 + x}\,dx = \left.\dfrac{2}{3}(1 + x)^{3/2}\right|_{0}^{5}$

4. Evaluamos. $L = - \dfrac{2}{3} + 4 \sqrt{6} \approx 9{,}1313$

Respuesta: $L = - \dfrac{2}{3} + 4 \sqrt{6} \approx 9{,}1313$

7. Planteá la integral que da la longitud del arco de $f(x) = x^{2}$ entre $x = 1$ y $x = 4$ , sin resolverla.

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1. Escribimos la fórmula. $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\,dx$

2. Derivamos. $f'(x) = 2x$

3. Reemplazamos. $L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx$

4. Comentamos por qué se deja planteada. Esa integral necesita sustitución trigonométrica y el resultado tiene logaritmos: la mayoría de las longitudes de arco no salen con técnicas elementales, y eso es normal.

Respuesta: $L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx$

8. Explicá de dónde sale la fórmula de longitud de arco y aplicala a $f(x) = 6$ entre $x = 0$ y $x = 12$ .

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1. Aproximamos con segmentos. Se parte la curva en pedacitos y cada uno se reemplaza por un segmento recto.

2. Aplicamos Pitágoras a cada pedacito. El segmento es la hipotenusa de un triángulo de catetos $\Delta x$ y $\Delta y$ , así que mide $\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$ .

3. Sacamos $\Delta x$ de factor común. Queda $\sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}\,\Delta x$ , y al pasar al límite el cociente se vuelve $f'(x)$ .

4. Aplicamos al caso pedido. $f'(x) = 0$ , así que $L = \int_{0}^{12} 1\,dx = 12$ , que es lo que mide el segmento horizontal.

Respuesta: $L = 12$

9. Calculá la longitud del arco de $f(x) = 4x$ entre $x = 0$ y $x = 2$ , y verificá con Pitágoras.

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1. Escribimos la fórmula. $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\,dx$

2. Calculamos la derivada. $f'(x) = 4$ , constante, así que el integrando es $\sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$ .

3. Integramos. $L = \sqrt{17} \cdot 2 = 2 \sqrt{17} \approx 8{,}2462$

4. Verificamos con Pitágoras. El segmento va de $(0, 0)$ a $(2, 8)$ , y $\sqrt{4 + 64} = 2 \sqrt{17}$ : coincide.

Respuesta: $L = 2 \sqrt{17} \approx 8{,}2462$

10. Calculá la longitud del arco de $f(x) = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ entre $x = 0$ y $x = 6$ .

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1. Derivamos. $f'(x) = x^{1/2} = \sqrt{x}$

2. Armamos el integrando. $\sqrt{1 + \left(\sqrt{x}\right)^{2}} = \sqrt{1 + x}$ : la raíz de afuera se simplifica bien, y por eso esta función es el ejemplo clásico del tema.

3. Integramos. $\int_{0}^{6} \sqrt{1 + x}\,dx = \left.\dfrac{2}{3}(1 + x)^{3/2}\right|_{0}^{6}$

4. Evaluamos. $L = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{14 \sqrt{7}}{3} \approx 11{,}6802$

Respuesta: $L = - \dfrac{2}{3} + \dfrac{14 \sqrt{7}}{3} \approx 11{,}6802$

11. Planteá la integral que da la longitud del arco de $f(x) = x^{2}$ entre $x = 2$ y $x = 4$ , sin resolverla.

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1. Escribimos la fórmula. $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}}\,dx$

2. Derivamos. $f'(x) = 2x$

3. Reemplazamos. $L = \int_{2}^{4} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx$

4. Comentamos por qué se deja planteada. Esa integral necesita sustitución trigonométrica y el resultado tiene logaritmos: la mayoría de las longitudes de arco no salen con técnicas elementales, y eso es normal.

Respuesta: $L = \int_{2}^{4} \sqrt{1 + 4x^{2}}\,dx$

12. Explicá de dónde sale la fórmula de longitud de arco y aplicala a $f(x) = 1$ entre $x = 0$ y $x = 2$ .

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1. Aproximamos con segmentos. Se parte la curva en pedacitos y cada uno se reemplaza por un segmento recto.

2. Aplicamos Pitágoras a cada pedacito. El segmento es la hipotenusa de un triángulo de catetos $\Delta x$ y $\Delta y$ , así que mide $\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$ .

3. Sacamos $\Delta x$ de factor común. Queda $\sqrt{1 + \left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}\,\Delta x$ , y al pasar al límite el cociente se vuelve $f'(x)$ .

4. Aplicamos al caso pedido. $f'(x) = 0$ , así que $L = \int_{0}^{2} 1\,dx = 2$ , que es lo que mide el segmento horizontal.

Respuesta: $L = 2$