Método

Ejercicios: Valor medio de una función

fprom=1b−a∫abf(x) dxf_{\text{prom}} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el valor medio de f(x)=x2f(x) = x^{2} en [0,4][0, 4].

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1. Escribimos la fórmula. fprom=14−0∫04x2 dxf_{\text{prom}} = \dfrac{1}{4 - 0}\int_{0}^{4} x^{2}\,dx

2. Calculamos la integral. x33∣04=643\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{4} = \dfrac{64}{3}

3. Dividimos por la longitud del intervalo. 6434=163\dfrac{\dfrac{64}{3}}{4} = \dfrac{16}{3}

4. Interpretamos. Es la altura del rectángulo de base [0,4][0, 4] que tiene la misma área que la región bajo la curva.

Respuesta: fprom=163≈5,3333f_{\text{prom}} = \dfrac{16}{3} \approx 5{,}3333

2. Explicá qué representa el valor medio de ff en [0,2][0, 2] si vale 33.

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1. Escribimos qué dice la fórmula. 12∫02f=3\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2} f = 3, o sea ∫02f=3⋅2=6\int_{0}^{2} f = 3 \cdot 2 = 6.

2. Interpretamos ese producto. 66 es el área de un rectángulo de base 22 y altura 33.

3. Comparamos con la región. Ese rectángulo tiene exactamente la misma área que la región bajo la curva en el intervalo.

4. Sacamos la idea. El valor medio es la altura a la que habría que aplanar la función para que encierre la misma área. No es el promedio de dos valores, sino de infinitos.

Respuesta: es la altura 33 del rectángulo de base 22 con la misma área, 66

3. Hallá el valor medio de f(x)=x2f(x) = x^{2} en [0,5][0, 5] y el punto cc donde la función alcanza ese valor.

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1. Calculamos el valor medio. 15∫05x2 dx=15⋅1253=253\dfrac{1}{5}\int_{0}^{5} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{125}{3} = \dfrac{25}{3}

2. Planteamos la ecuación. Buscamos cc en [0,5][0, 5] con f(c)=253f(c) = \dfrac{25}{3}, o sea c2=253c^{2} = \dfrac{25}{3}.

3. Despejamos. c=533≈2,8868c = \dfrac{5 \sqrt{3}}{3} \approx 2{,}8868, que está adentro del intervalo.

4. Interpretamos. El teorema del valor medio para integrales garantiza que ese punto existe siempre que la función sea continua: el promedio se alcanza en algún lugar.

Respuesta: el valor medio es 253\dfrac{25}{3} y se alcanza en c=533c = \dfrac{5 \sqrt{3}}{3}

4. Un móvil tiene velocidad v(t)=2t+10v(t) = 2 t + 10 metros por segundo. Hallá su velocidad media entre t=0t = 0 y t=5t = 5 segundos.

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1. Escribimos la fórmula. vprom=15∫052t+10 dtv_{\text{prom}} = \dfrac{1}{5}\int_{0}^{5} 2 t + 10\,dt

2. Calculamos la integral. t2+10t∣05=75\left.t^{2} + 10 t\right|_{0}^{5} = 75 metros, que es la distancia recorrida.

3. Dividimos por el tiempo. 755=15\dfrac{75}{5} = 15

4. Interpretamos. Da 1515 metros por segundo, que es distancia sobre tiempo: la definición de velocidad media de siempre, ahora obtenida con una integral.

Respuesta: 1515 metros por segundo

5. Calculá el valor medio de f(x)=x2f(x) = x^{2} en [2,5][2, 5].

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1. Escribimos la fórmula. fprom=15−2∫25x2 dxf_{\text{prom}} = \dfrac{1}{5 - 2}\int_{2}^{5} x^{2}\,dx

2. Calculamos la integral. x33∣25=39\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{2}^{5} = 39

3. Dividimos por la longitud del intervalo. 393=13\dfrac{39}{3} = 13

4. Interpretamos. Es la altura del rectángulo de base [2,5][2, 5] que tiene la misma área que la región bajo la curva.

Respuesta: fprom=13f_{\text{prom}} = 13

6. Explicá qué representa el valor medio de ff en [0,3][0, 3] si vale 22.

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1. Escribimos qué dice la fórmula. 13∫03f=2\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3} f = 2, o sea ∫03f=2⋅3=6\int_{0}^{3} f = 2 \cdot 3 = 6.

2. Interpretamos ese producto. 66 es el área de un rectángulo de base 33 y altura 22.

3. Comparamos con la región. Ese rectángulo tiene exactamente la misma área que la región bajo la curva en el intervalo.

4. Sacamos la idea. El valor medio es la altura a la que habría que aplanar la función para que encierre la misma área. No es el promedio de dos valores, sino de infinitos.

Respuesta: es la altura 22 del rectángulo de base 33 con la misma área, 66

7. Hallá el valor medio de f(x)=x2f(x) = x^{2} en [0,7][0, 7] y el punto cc donde la función alcanza ese valor.

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1. Calculamos el valor medio. 17∫07x2 dx=17⋅3433=493\dfrac{1}{7}\int_{0}^{7} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{343}{3} = \dfrac{49}{3}

2. Planteamos la ecuación. Buscamos cc en [0,7][0, 7] con f(c)=493f(c) = \dfrac{49}{3}, o sea c2=493c^{2} = \dfrac{49}{3}.

3. Despejamos. c=733≈4,0415c = \dfrac{7 \sqrt{3}}{3} \approx 4{,}0415, que está adentro del intervalo.

4. Interpretamos. El teorema del valor medio para integrales garantiza que ese punto existe siempre que la función sea continua: el promedio se alcanza en algún lugar.

Respuesta: el valor medio es 493\dfrac{49}{3} y se alcanza en c=733c = \dfrac{7 \sqrt{3}}{3}

8. Un móvil tiene velocidad v(t)=2t+30v(t) = 2 t + 30 metros por segundo. Hallá su velocidad media entre t=0t = 0 y t=3t = 3 segundos.

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1. Escribimos la fórmula. vprom=13∫032t+30 dtv_{\text{prom}} = \dfrac{1}{3}\int_{0}^{3} 2 t + 30\,dt

2. Calculamos la integral. t2+30t∣03=99\left.t^{2} + 30 t\right|_{0}^{3} = 99 metros, que es la distancia recorrida.

3. Dividimos por el tiempo. 993=33\dfrac{99}{3} = 33

4. Interpretamos. Da 3333 metros por segundo, que es distancia sobre tiempo: la definición de velocidad media de siempre, ahora obtenida con una integral.

Respuesta: 3333 metros por segundo

9. Calculá el valor medio de f(x)=x2f(x) = x^{2} en [1,4][1, 4].

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1. Escribimos la fórmula. fprom=14−1∫14x2 dxf_{\text{prom}} = \dfrac{1}{4 - 1}\int_{1}^{4} x^{2}\,dx

2. Calculamos la integral. x33∣14=21\left.\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{4} = 21

3. Dividimos por la longitud del intervalo. 213=7\dfrac{21}{3} = 7

4. Interpretamos. Es la altura del rectángulo de base [1,4][1, 4] que tiene la misma área que la región bajo la curva.

Respuesta: fprom=7f_{\text{prom}} = 7

10. Explicá qué representa el valor medio de ff en [0,1][0, 1] si vale 77.

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1. Escribimos qué dice la fórmula. 11∫01f=7\dfrac{1}{1}\int_{0}^{1} f = 7, o sea ∫01f=7⋅1=7\int_{0}^{1} f = 7 \cdot 1 = 7.

2. Interpretamos ese producto. 77 es el área de un rectángulo de base 11 y altura 77.

3. Comparamos con la región. Ese rectángulo tiene exactamente la misma área que la región bajo la curva en el intervalo.

4. Sacamos la idea. El valor medio es la altura a la que habría que aplanar la función para que encierre la misma área. No es el promedio de dos valores, sino de infinitos.

Respuesta: es la altura 77 del rectángulo de base 11 con la misma área, 77

11. Hallá el valor medio de f(x)=x2f(x) = x^{2} en [0,3][0, 3] y el punto cc donde la función alcanza ese valor.

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1. Calculamos el valor medio. 13∫03x2 dx=13⋅273=3\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{27}{3} = 3

2. Planteamos la ecuación. Buscamos cc en [0,3][0, 3] con f(c)=3f(c) = 3, o sea c2=3c^{2} = 3.

3. Despejamos. c=3≈1,7321c = \sqrt{3} \approx 1{,}7321, que está adentro del intervalo.

4. Interpretamos. El teorema del valor medio para integrales garantiza que ese punto existe siempre que la función sea continua: el promedio se alcanza en algún lugar.

Respuesta: el valor medio es 33 y se alcanza en c=3c = \sqrt{3}

12. Un móvil tiene velocidad v(t)=t+15v(t) = t + 15 metros por segundo. Hallá su velocidad media entre t=0t = 0 y t=6t = 6 segundos.

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1. Escribimos la fórmula. vprom=16∫06t+15 dtv_{\text{prom}} = \dfrac{1}{6}\int_{0}^{6} t + 15\,dt

2. Calculamos la integral. t22+15t∣06=108\left.\dfrac{t^{2}}{2} + 15 t\right|_{0}^{6} = 108 metros, que es la distancia recorrida.

3. Dividimos por el tiempo. 1086=18\dfrac{108}{6} = 18

4. Interpretamos. Da 1818 metros por segundo, que es distancia sobre tiempo: la definición de velocidad media de siempre, ahora obtenida con una integral.

Respuesta: 1818 metros por segundo

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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