Por partes repetida

Cuando después de aplicar por partes la integral que queda sigue siendo un producto, hay que volver a aplicarla. Eso es normal y no significa que algo esté mal.

Con un polinomio multiplicando, la cantidad de veces está determinada por el grado: cada aplicación le baja uno, hasta que desaparece.

Hay un caso especial que conviene reconocer. Cuando el integrando es una exponencial multiplicada por un seno o un coseno, al aplicar por partes dos veces reaparece la integral original.

Eso parece un callejón sin salida pero es la solución. Se plantea la igualdad como una ecuación donde la incógnita es la integral, se juntan los términos con la integral de un lado, y se despeja.

En ese caso hay que tener cuidado con dos cosas. La elección de qué derivar tiene que ser consistente en las dos aplicaciones: si en la primera se derivó la exponencial, en la segunda también. Y hay que sumar la constante de integración recién al final, después de despejar.

se repite hasta que el polinomio se agota

Cuándo se usa

Cuando después de aplicar por partes la integral sigue siendo un producto. Si aparece una exponencial por seno o coseno, aplicá dos veces y despejá la integral como si fuera una ecuación.

Ejemplo 1

Calcular $\int x^{2} e^{x} \, dx$ aplicando el método dos veces.

Primera aplicación. $u = x^{2}$ , $dv = e^{x} \, dx$ . Queda $x^{2} e^{x} - \int 2x e^{x} \, dx$ .
Sacamos la constante y miramos la nueva integral. $\int 2x e^{x} \, dx = 2 \int x e^{x} \, dx$ . El grado bajó de $2$ a $1$ .
Segunda aplicación sobre la que quedó. Ya sabemos que $\int x e^{x} \, dx = e^{x}(x - 1)$ .
Reemplazamos. $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} (x - 1)$
Sacamos factor común. $e^{x} (x^{2} - 2x + 2) + C$
Respuesta: $\int x^{2} e^{x} \, dx = e^{x} (x^{2} - 2x + 2) + C$

Ejemplo 2

Calcular $I = \int e^{x} \operatorname{sen} x \, dx$ .

Primera aplicación. $u = \operatorname{sen} x$ , $dv = e^{x} \, dx$ . Queda $e^{x} \operatorname{sen} x - \int e^{x} \cos x \, dx$ .
Segunda aplicación, manteniendo el criterio. Otra vez la trigonométrica como $u$ : $\int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \operatorname{sen} x \, dx$ .
Reemplazamos y reconocemos la integral original. $I = e^{x} \operatorname{sen} x - e^{x} \cos x - I$
Despejamos como una ecuación. $2I = e^{x} (\operatorname{sen} x - \cos x)$
Dividimos por dos. $I = e^{x} (\operatorname{sen} x - \cos x)/2 + C$
Respuesta: $e^{x} (\operatorname{sen} x - \cos x)/2 + C$

Error típico

Cambiar de criterio entre la primera y la segunda aplicación. Si primero elegís $u = e^{x}$ y después $u = \operatorname{sen} x$ , se deshace todo y llegás a $I = I$ , que no dice nada.

Practicar

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