Cuando la curva pasa por debajo

Cuando la función es negativa en un tramo, la integral da negativo. Eso es correcto como integral pero no como área, porque un área no puede ser negativa.

La integral está midiendo área con signo: cuenta positivo lo que está arriba del eje y negativo lo que está abajo. Para obtener el área geométrica hay que sacar esos signos.

El procedimiento tiene tres pasos. Primero se buscan las raíces de la función dentro del intervalo, que son los puntos donde cambia de lado. Después se integra cada tramo por separado. Y al final se suman los valores absolutos de cada resultado.

Sumar sin tomar valor absoluto es el error clásico. Si la curva sube tanto como baja, los dos aportes se cancelan y la cuenta da cero, cuando el área es evidentemente positiva.

Hay que leer bien qué pide el enunciado. Si pide el área encerrada, van los valores absolutos. Si pide la integral, va tal cual con su signo. Son dos preguntas distintas y la respuesta cambia.

área

= \int

de a hasta c de

f + | \int

de c hasta b de f |

Cuándo se usa

Cuando la función cambia de signo dentro del intervalo. Buscá las raíces, partí la integral en esos puntos, y sumá los valores absolutos de cada tramo. Fijate si el enunciado pide área o integral.

Ejemplo 1

Calcular la integral de $x^{3} - 4x$ entre $-2$ y $2$ y compararla con el área.

Calculamos la integral de corrido. Primitiva $x^{4}/4 - 2x^{2}$ . En $2$ vale $4 - 8 = -4$ , y en $-2$ también $-4$ .
Restamos. $-4 + 4 = 0$ . La integral vale cero.
Buscamos dónde cruza el eje. $x(x^{2} - 4) = 0$ da $x = -2, 0, 2$ .
Calculamos cada tramo por separado. De $-2$ a $0$ : $0 + 4 = 4$ . De $0$ a $2$ : $-4 = -4$ .
Sumamos los valores absolutos. $|4| + |-4| = 8$
Respuesta: la integral vale $0$ pero el área es $8$

Ejemplo 2

Hallar el área encerrada entre $f(x) = x^{2} - 1$ y el eje $x$ .

Buscamos los cortes. $x^{2} - 1 = 0$ da $x = \pm 1$ .
Verificamos el signo entre ellos. En $x = 0$ vale $-1 < 0$ : la función está debajo del eje en todo el tramo.
Calculamos la integral. Primitiva $x^{3}/3 - x$ . En $1$ : $1/3 - 1 = -2/3$ . En $-1$ : $2/3$ .
Restamos. $-2/3 - 2/3 = -4/3$ .
Tomamos el valor absoluto. El área es $4/3$ .
Respuesta: el área es $4/3$

Error típico

Contestar el resultado de la integral cuando el enunciado pide el área. Si el número te da negativo y la pregunta era por un área, hay un error de método seguro.

Practicar

← Área bajo una curva Área entre dos curvas →

Otros subtemas de Integrales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .