La tabla de integrales inmediatas

La tabla de integrales es la tabla de derivadas leída al revés. Cada derivada conocida da una integral, y por eso saber derivar bien es la mitad de saber integrar.

La más usada es la regla de la potencia invertida: se le suma uno al exponente y se divide por el nuevo exponente. Es exactamente lo contrario de derivar.

Esa regla tiene una excepción, y es la única del tema. Cuando el exponente vale menos uno, al sumarle uno queda cero y habría que dividir por cero. Ese caso se resuelve aparte y da un logaritmo.

El resto de la tabla sale directo de las derivadas conocidas. La exponencial de base e se integra en sí misma, el coseno da seno, y el seno da menos coseno. Ese signo es el que más se equivoca al invertir.

Conviene tener la tabla incorporada de memoria, porque casi todas las técnicas de integración terminan reduciendo el problema a alguna de estas formas.

\int x^{n}

= x^{n+1} / (n+1) + C

con

n \neq -1

Cuándo se usa

Es el primer intento en cualquier integral: fijate si el integrando ya está en la tabla o si se puede reescribir para que lo esté. Cuidado con el caso del exponente menos uno, que da logaritmo y no potencia.

Ejemplo 1

Calcular $\int x^{5} \, dx$ y $\int \sqrt{x} \, dx$ .

Para la primera aplicamos la regla directo. El exponente sube a $6$ y se divide por $6$ : $x^{6}/6 + C$ .
Para la segunda reescribimos la raíz. $\sqrt{x} = x^(1/2)$
Aplicamos la regla. El exponente sube a $3/2$ y se divide por $3/2$ .
Simplificamos. Dividir por $3/2$ es multiplicar por $2/3$ : $(2/3) x^(3/2) + C$ .
Respuesta: $x^{6}/6 + C$ y $(2/3)\sqrt{x^{3}} + C$

Ejemplo 2

Calcular $\int 1/x^{2} \, dx$ y comparar con $\int 1/x \, dx$ .

Reescribimos la primera como potencia. $1/x^{2} = x^{-2}$ , con $n = -2$ .
Verificamos que se pueda aplicar la regla. $n \neq -1$ , así que sí.
Aplicamos: el exponente sube $a -1 y$ se divide por $-1$ . $x^{-1} / (-1) = -1/x + C$
Para la segunda, el exponente sí es $-1$ . La regla no se puede aplicar. Corresponde $\ln |x| + C$ .
Respuesta: $-1/x + C$ la primera, $\ln |x| + C$ la segunda

Error típico

Integrar $1/x$ como si fuera una potencia y contestar $x^{0}/0$ . Ese es exactamente el caso que la fórmula excluye, y por eso el resultado es $\ln |x|$ y no una potencia.

Practicar

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Otros subtemas de Integrales

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