Método

Ejercicios: La tabla de integrales inmediatas

∫xn\int x^{n} dx =xn+1/(n+1)+C= x^{n+1} / (n+1) + C con n≠−1n \neq -1

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá ∫x7 dx\int x^{7}\,dx.

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1. Aplicamos la regla de la potencia al revés. Se le suma uno al exponente y se divide por el nuevo exponente.

2. Subimos el exponente. x8x^{8}

3. Dividimos por el nuevo exponente. x88\dfrac{x^{8}}{8}

4. Agregamos la constante y verificamos. ∫x7 dx=x88+C\int x^{7}\,dx = \dfrac{x^{8}}{8} + C, y derivando se recupera x7x^{7}.

Respuesta: x88+C\dfrac{x^{8}}{8} + C

2. Calculá ∫3ex+3x dx\int 3e^{x} + \dfrac{3}{x}\,dx.

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1. Separamos en dos integrales. La integral de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen afuera.

2. Integramos la exponencial. ∫ex dx=ex+C\int e^{x}\,dx = e^{x} + C, porque la exponencial es su propia derivada.

3. Integramos la otra. ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C: es el caso que la regla de la potencia deja afuera.

4. Armamos el resultado. 3ex+3ln⁡∣x∣+C3e^{x} + 3\ln|x| + C. El módulo hace falta para que valga también con xx negativo.

Respuesta: 3ex+3ln⁡∣x∣+C3e^{x} + 3\ln|x| + C

3. Calculá ∫3sen⁡x−2cos⁡x dx\int 3\operatorname{sen} x - 2\cos x\,dx.

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1. Leemos la tabla al revés. Como (cos⁡x)′=−sen⁡x(\cos x)' = -\operatorname{sen} x, la primitiva del seno es −cos⁡x-\cos x.

2. Integramos el primer término. ∫3sen⁡x dx=−3cos⁡x\int 3\operatorname{sen} x\,dx = -3\cos x

3. Integramos el segundo. Como (sen⁡x)′=cos⁡x(\operatorname{sen} x)' = \cos x, queda ∫2cos⁡x dx=2sen⁡x\int 2\cos x\,dx = 2\operatorname{sen} x, y viene restando.

4. Armamos y verificamos. −3cos⁡x−2sen⁡x+C-3\cos x - 2\operatorname{sen} x + C, y derivando se recupera el integrando. Los signos son el error más común del tema.

Respuesta: −3cos⁡x−2sen⁡x+C-3\cos x - 2\operatorname{sen} x + C

4. Explicá por qué la regla de la potencia no sirve para ∫4x dx\int \dfrac{4}{x}\,dx y calculala.

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1. Escribimos el integrando como potencia. 4x=4x−1\dfrac{4}{x} = 4x^{-1}, así que el exponente es −1-1.

2. Intentamos aplicar la regla. Habría que sumar uno al exponente y dividir por el nuevo exponente, que sería cero: no se puede dividir por cero.

3. Buscamos qué función deriva en eso. (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}, así que la primitiva sale de la tabla del logaritmo, no de la de potencias.

4. Escribimos el resultado. 4ln⁡∣x∣+C4\ln|x| + C. Por eso la regla de la potencia siempre se enuncia con la condición n≠−1n \neq -1.

Respuesta: 4ln⁡∣x∣+C4\ln|x| + C

5. Calculá ∫x6 dx\int x^{6}\,dx.

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1. Aplicamos la regla de la potencia al revés. Se le suma uno al exponente y se divide por el nuevo exponente.

2. Subimos el exponente. x7x^{7}

3. Dividimos por el nuevo exponente. x77\dfrac{x^{7}}{7}

4. Agregamos la constante y verificamos. ∫x6 dx=x77+C\int x^{6}\,dx = \dfrac{x^{7}}{7} + C, y derivando se recupera x6x^{6}.

Respuesta: x77+C\dfrac{x^{7}}{7} + C

6. Calculá ∫7ex+7x dx\int 7e^{x} + \dfrac{7}{x}\,dx.

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1. Separamos en dos integrales. La integral de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen afuera.

2. Integramos la exponencial. ∫ex dx=ex+C\int e^{x}\,dx = e^{x} + C, porque la exponencial es su propia derivada.

3. Integramos la otra. ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C: es el caso que la regla de la potencia deja afuera.

4. Armamos el resultado. 7ex+7ln⁡∣x∣+C7e^{x} + 7\ln|x| + C. El módulo hace falta para que valga también con xx negativo.

Respuesta: 7ex+7ln⁡∣x∣+C7e^{x} + 7\ln|x| + C

7. Calculá ∫6sen⁡x−3cos⁡x dx\int 6\operatorname{sen} x - 3\cos x\,dx.

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1. Leemos la tabla al revés. Como (cos⁡x)′=−sen⁡x(\cos x)' = -\operatorname{sen} x, la primitiva del seno es −cos⁡x-\cos x.

2. Integramos el primer término. ∫6sen⁡x dx=−6cos⁡x\int 6\operatorname{sen} x\,dx = -6\cos x

3. Integramos el segundo. Como (sen⁡x)′=cos⁡x(\operatorname{sen} x)' = \cos x, queda ∫3cos⁡x dx=3sen⁡x\int 3\cos x\,dx = 3\operatorname{sen} x, y viene restando.

4. Armamos y verificamos. −6cos⁡x−3sen⁡x+C-6\cos x - 3\operatorname{sen} x + C, y derivando se recupera el integrando. Los signos son el error más común del tema.

Respuesta: −6cos⁡x−3sen⁡x+C-6\cos x - 3\operatorname{sen} x + C

8. Explicá por qué la regla de la potencia no sirve para ∫5x dx\int \dfrac{5}{x}\,dx y calculala.

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1. Escribimos el integrando como potencia. 5x=5x−1\dfrac{5}{x} = 5x^{-1}, así que el exponente es −1-1.

2. Intentamos aplicar la regla. Habría que sumar uno al exponente y dividir por el nuevo exponente, que sería cero: no se puede dividir por cero.

3. Buscamos qué función deriva en eso. (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}, así que la primitiva sale de la tabla del logaritmo, no de la de potencias.

4. Escribimos el resultado. 5ln⁡∣x∣+C5\ln|x| + C. Por eso la regla de la potencia siempre se enuncia con la condición n≠−1n \neq -1.

Respuesta: 5ln⁡∣x∣+C5\ln|x| + C

9. Calculá ∫x5 dx\int x^{5}\,dx.

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1. Aplicamos la regla de la potencia al revés. Se le suma uno al exponente y se divide por el nuevo exponente.

2. Subimos el exponente. x6x^{6}

3. Dividimos por el nuevo exponente. x66\dfrac{x^{6}}{6}

4. Agregamos la constante y verificamos. ∫x5 dx=x66+C\int x^{5}\,dx = \dfrac{x^{6}}{6} + C, y derivando se recupera x5x^{5}.

Respuesta: x66+C\dfrac{x^{6}}{6} + C

10. Calculá ∫4ex+4x dx\int 4e^{x} + \dfrac{4}{x}\,dx.

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1. Separamos en dos integrales. La integral de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen afuera.

2. Integramos la exponencial. ∫ex dx=ex+C\int e^{x}\,dx = e^{x} + C, porque la exponencial es su propia derivada.

3. Integramos la otra. ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C: es el caso que la regla de la potencia deja afuera.

4. Armamos el resultado. 4ex+4ln⁡∣x∣+C4e^{x} + 4\ln|x| + C. El módulo hace falta para que valga también con xx negativo.

Respuesta: 4ex+4ln⁡∣x∣+C4e^{x} + 4\ln|x| + C

11. Calculá ∫4sen⁡x−cos⁡x dx\int 4\operatorname{sen} x - \cos x\,dx.

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1. Leemos la tabla al revés. Como (cos⁡x)′=−sen⁡x(\cos x)' = -\operatorname{sen} x, la primitiva del seno es −cos⁡x-\cos x.

2. Integramos el primer término. ∫4sen⁡x dx=−4cos⁡x\int 4\operatorname{sen} x\,dx = -4\cos x

3. Integramos el segundo. Como (sen⁡x)′=cos⁡x(\operatorname{sen} x)' = \cos x, queda ∫cos⁡x dx=sen⁡x\int \cos x\,dx = \operatorname{sen} x, y viene restando.

4. Armamos y verificamos. −4cos⁡x−sen⁡x+C-4\cos x - \operatorname{sen} x + C, y derivando se recupera el integrando. Los signos son el error más común del tema.

Respuesta: −4cos⁡x−sen⁡x+C-4\cos x - \operatorname{sen} x + C

12. Explicá por qué la regla de la potencia no sirve para ∫2x dx\int \dfrac{2}{x}\,dx y calculala.

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1. Escribimos el integrando como potencia. 2x=2x−1\dfrac{2}{x} = 2x^{-1}, así que el exponente es −1-1.

2. Intentamos aplicar la regla. Habría que sumar uno al exponente y dividir por el nuevo exponente, que sería cero: no se puede dividir por cero.

3. Buscamos qué función deriva en eso. (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}, así que la primitiva sale de la tabla del logaritmo, no de la de potencias.

4. Escribimos el resultado. 2ln⁡∣x∣+C2\ln|x| + C. Por eso la regla de la potencia siempre se enuncia con la condición n≠−1n \neq -1.

Respuesta: 2ln⁡∣x∣+C2\ln|x| + C

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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