Método

Ejercicios: Suma, resta y constante

∫[f±g]\int [ f \pm g ] dx =∫f= \int f dx ±∫g\pm \int g dx ∫k⋅f\int k \cdot f dx =k∫f= k \int f dx

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá ∫(2x2+4x−1) dx\int \left(2 x^{2} + 4 x - 1\right)\,dx.

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1. Partimos en tres integrales. La integral de una suma o resta se resuelve término por término.

2. Integramos los dos primeros. ∫2x2 dx=2x33\int 2x^{2}\,dx = \dfrac{2 x^{3}}{3} y ∫4x dx=2x2\int 4x\,dx = 2 x^{2}.

3. Integramos el tercero. ∫1 dx=x\int 1\,dx = x, porque la derivada de xx es 11.

4. Armamos con una sola constante. x(2x2+6x−3)3+C\dfrac{x \left(2 x^{2} + 6 x - 3\right)}{3} + C: no hace falta una constante por término, porque la suma de constantes es otra constante.

Respuesta: x(2x2+6x−3)3+C\dfrac{x \left(2 x^{2} + 6 x - 3\right)}{3} + C

2. Calculá ∫15x4 dx\int 15x^{4}\,dx sacando la constante afuera.

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1. Sacamos el número que multiplica. ∫15x4 dx=15∫x4 dx\int 15x^{4}\,dx = 15\int x^{4}\,dx

2. Integramos lo que queda. x55\dfrac{x^{5}}{5}

3. Multiplicamos por la constante. 3x53 x^{5}

4. Verificamos derivando. La derivada devuelve 15x415x^{4}. Ojo: las constantes que multiplican salen, pero las que suman no.

Respuesta: 3x5+C3 x^{5} + C

3. Calculá ∫12x−7x dx\int 12\sqrt{x} - \dfrac{7}{x}\,dx.

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1. Reescribimos cada término. 12x=12x1/212\sqrt{x} = 12x^{1/2}, y el segundo ya está listo para la regla del logaritmo.

2. Integramos el primero. Subimos el exponente a 32\dfrac{3}{2} y dividimos: 8x328 x^{\frac{3}{2}}.

3. Integramos el segundo. ∫7x dx=7ln⁡∣x∣\int \dfrac{7}{x}\,dx = 7\ln|x|, y viene restando.

4. Armamos el resultado. 8x32−7ln⁡∣x∣+C8 x^{\frac{3}{2}} - 7\ln|x| + C

Respuesta: 8x32−7ln⁡∣x∣+C8 x^{\frac{3}{2}} - 7\ln|x| + C

4. Calculá ∫6x3−ex dx\int 6x^{3} - e^{x}\,dx y verificá el resultado.

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1. Separamos en dos integrales. Cada término se integra por su lado y las constantes salen afuera.

2. Integramos el polinomio. ∫6x3 dx=3x42\int 6x^{3}\,dx = \dfrac{3 x^{4}}{2}

3. Integramos la exponencial. ∫ex dx=ex\int e^{x}\,dx = e^{x}

4. Escribimos y verificamos. 3x42−ex+C\dfrac{3 x^{4}}{2} - e^{x} + C, y al derivar volvemos a 6x3−ex6x^{3} - e^{x}.

Respuesta: 3x42−ex+C\dfrac{3 x^{4}}{2} - e^{x} + C

5. Calculá ∫(5x2+x−6) dx\int \left(5 x^{2} + x - 6\right)\,dx.

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1. Partimos en tres integrales. La integral de una suma o resta se resuelve término por término.

2. Integramos los dos primeros. ∫5x2 dx=5x33\int 5x^{2}\,dx = \dfrac{5 x^{3}}{3} y ∫x dx=x22\int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}.

3. Integramos el tercero. ∫6 dx=6x\int 6\,dx = 6x, porque la derivada de 6x6x es 66.

4. Armamos con una sola constante. x(10x2+3x−36)6+C\dfrac{x \left(10 x^{2} + 3 x - 36\right)}{6} + C: no hace falta una constante por término, porque la suma de constantes es otra constante.

Respuesta: x(10x2+3x−36)6+C\dfrac{x \left(10 x^{2} + 3 x - 36\right)}{6} + C

6. Calculá ∫6x3 dx\int 6x^{3}\,dx sacando la constante afuera.

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1. Sacamos el número que multiplica. ∫6x3 dx=6∫x3 dx\int 6x^{3}\,dx = 6\int x^{3}\,dx

2. Integramos lo que queda. x44\dfrac{x^{4}}{4}

3. Multiplicamos por la constante. 3x42\dfrac{3 x^{4}}{2}

4. Verificamos derivando. La derivada devuelve 6x36x^{3}. Ojo: las constantes que multiplican salen, pero las que suman no.

Respuesta: 3x42+C\dfrac{3 x^{4}}{2} + C

7. Calculá ∫2x−4x dx\int 2\sqrt{x} - \dfrac{4}{x}\,dx.

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1. Reescribimos cada término. 2x=2x1/22\sqrt{x} = 2x^{1/2}, y el segundo ya está listo para la regla del logaritmo.

2. Integramos el primero. Subimos el exponente a 32\dfrac{3}{2} y dividimos: 4x323\dfrac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}.

3. Integramos el segundo. ∫4x dx=4ln⁡∣x∣\int \dfrac{4}{x}\,dx = 4\ln|x|, y viene restando.

4. Armamos el resultado. 4x323−4ln⁡∣x∣+C\dfrac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 4\ln|x| + C

Respuesta: 4x323−4ln⁡∣x∣+C\dfrac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 4\ln|x| + C

8. Calculá ∫5x3−2ex dx\int 5x^{3} - 2e^{x}\,dx y verificá el resultado.

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1. Separamos en dos integrales. Cada término se integra por su lado y las constantes salen afuera.

2. Integramos el polinomio. ∫5x3 dx=5x44\int 5x^{3}\,dx = \dfrac{5 x^{4}}{4}

3. Integramos la exponencial. ∫2ex dx=2ex\int 2e^{x}\,dx = 2e^{x}

4. Escribimos y verificamos. 5x44−2ex+C\dfrac{5 x^{4}}{4} - 2 e^{x} + C, y al derivar volvemos a 5x3−2ex5x^{3} - 2e^{x}.

Respuesta: 5x44−2ex+C\dfrac{5 x^{4}}{4} - 2 e^{x} + C

9. Calculá ∫(2x2+7x−4) dx\int \left(2 x^{2} + 7 x - 4\right)\,dx.

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1. Partimos en tres integrales. La integral de una suma o resta se resuelve término por término.

2. Integramos los dos primeros. ∫2x2 dx=2x33\int 2x^{2}\,dx = \dfrac{2 x^{3}}{3} y ∫7x dx=7x22\int 7x\,dx = \dfrac{7 x^{2}}{2}.

3. Integramos el tercero. ∫4 dx=4x\int 4\,dx = 4x, porque la derivada de 4x4x es 44.

4. Armamos con una sola constante. x(4x2+21x−24)6+C\dfrac{x \left(4 x^{2} + 21 x - 24\right)}{6} + C: no hace falta una constante por término, porque la suma de constantes es otra constante.

Respuesta: x(4x2+21x−24)6+C\dfrac{x \left(4 x^{2} + 21 x - 24\right)}{6} + C

10. Calculá ∫12x5 dx\int 12x^{5}\,dx sacando la constante afuera.

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1. Sacamos el número que multiplica. ∫12x5 dx=12∫x5 dx\int 12x^{5}\,dx = 12\int x^{5}\,dx

2. Integramos lo que queda. x66\dfrac{x^{6}}{6}

3. Multiplicamos por la constante. 2x62 x^{6}

4. Verificamos derivando. La derivada devuelve 12x512x^{5}. Ojo: las constantes que multiplican salen, pero las que suman no.

Respuesta: 2x6+C2 x^{6} + C

11. Calculá ∫6x−2x dx\int 6\sqrt{x} - \dfrac{2}{x}\,dx.

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1. Reescribimos cada término. 6x=6x1/26\sqrt{x} = 6x^{1/2}, y el segundo ya está listo para la regla del logaritmo.

2. Integramos el primero. Subimos el exponente a 32\dfrac{3}{2} y dividimos: 4x324 x^{\frac{3}{2}}.

3. Integramos el segundo. ∫2x dx=2ln⁡∣x∣\int \dfrac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|, y viene restando.

4. Armamos el resultado. 4x32−2ln⁡∣x∣+C4 x^{\frac{3}{2}} - 2\ln|x| + C

Respuesta: 4x32−2ln⁡∣x∣+C4 x^{\frac{3}{2}} - 2\ln|x| + C

12. Calculá ∫3x3−4ex dx\int 3x^{3} - 4e^{x}\,dx y verificá el resultado.

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1. Separamos en dos integrales. Cada término se integra por su lado y las constantes salen afuera.

2. Integramos el polinomio. ∫3x3 dx=3x44\int 3x^{3}\,dx = \dfrac{3 x^{4}}{4}

3. Integramos la exponencial. ∫4ex dx=4ex\int 4e^{x}\,dx = 4e^{x}

4. Escribimos y verificamos. 3x44−4ex+C\dfrac{3 x^{4}}{4} - 4 e^{x} + C, y al derivar volvemos a 3x3−4ex3x^{3} - 4e^{x}.

Respuesta: 3x44−4ex+C\dfrac{3 x^{4}}{4} - 4 e^{x} + C

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