Método

Ejercicios: La constante de integración

∫f(x)\int f(x) dx =F(x)+C= F(x) + C

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Escribí todas las primitivas de f(x)=2x2f(x) = 2x^{2}.

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1. Hallamos una primitiva. Subimos el exponente y dividimos: F(x)=2x33F(x) = \dfrac{2 x^{3}}{3}.

2. Verificamos. F′(x)=2x2F'(x) = 2x^{2}, que es el integrando.

3. Agregamos la constante. Cualquier constante sumada tiene derivada cero, así que también sirve: 2x33+C\dfrac{2 x^{3}}{3} + C.

4. Escribimos el resultado. ∫2x2 dx=2x33+C\int 2x^{2}\,dx = \dfrac{2 x^{3}}{3} + C. La letra CC representa a todas las primitivas a la vez, no a una sola.

Respuesta: 2x33+C\dfrac{2 x^{3}}{3} + C

2. Hallá la primitiva de f(x)=3x2f(x) = 3x^{2} que pasa por el punto (1,5)(1, 5).

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1. Escribimos la familia de primitivas. F(x)=x3+CF(x) = x^{3} + C

2. Imponemos la condición. F(1)=5F(1) = 5, o sea 1+C=51 + C = 5.

3. Despejamos la constante. C=4C = 4

4. Escribimos la primitiva pedida. F(x)=x3+4F(x) = x^{3} + 4. La condición elige una sola curva de la familia infinita.

Respuesta: F(x)=x3+4F(x) = x^{3} + 4

3. Explicá qué relación geométrica hay entre las primitivas F(x)=x2F(x) = x^{2} y G(x)=x2+7G(x) = x^{2} + 7, y comparalas en x=1x = 1.

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1. Derivamos las dos. F′(x)=2xF'(x) = 2x y G′(x)=2xG'(x) = 2x: son primitivas de la misma función.

2. Comparamos las alturas en el punto. F(1)=1F(1) = 1 y G(1)=8G(1) = 8: difieren en 77, igual que en cualquier otra abscisa.

3. Comparamos las pendientes. F′(1)=2F'(1) = 2 y G′(1)=2G'(1) = 2: son iguales, y eso vale para todo xx.

4. Interpretamos. Es la misma curva corrida 77 unidades hacia arriba. Todas las primitivas de una función forman esa familia de curvas paralelas.

Respuesta: es la misma curva desplazada 77 unidades hacia arriba, con la misma pendiente en cada punto

4. Un móvil arranca en la posición 00 con velocidad v(t)=4t+15v(t) = 4 t + 15 metros por segundo. Hallá su posición a los tt segundos.

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1. Identificamos la relación. La velocidad es la derivada de la posición, así que la posición es una primitiva de la velocidad.

2. Integramos. s(t)=2t2+15t+Cs(t) = 2 t^{2} + 15 t + C

3. Usamos la condición inicial. s(0)=0s(0) = 0, y reemplazando queda C=0C = 0.

4. Escribimos la respuesta. s(t)=2t2+15ts(t) = 2 t^{2} + 15 t metros. Sin el dato de la posición inicial la constante quedaría indeterminada y el problema no tendría una única solución.

Respuesta: s(t)=2t2+15ts(t) = 2 t^{2} + 15 t metros

5. Escribí todas las primitivas de f(x)=5x2f(x) = 5x^{2}.

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1. Hallamos una primitiva. Subimos el exponente y dividimos: F(x)=5x33F(x) = \dfrac{5 x^{3}}{3}.

2. Verificamos. F′(x)=5x2F'(x) = 5x^{2}, que es el integrando.

3. Agregamos la constante. Cualquier constante sumada tiene derivada cero, así que también sirve: 5x33+C\dfrac{5 x^{3}}{3} + C.

4. Escribimos el resultado. ∫5x2 dx=5x33+C\int 5x^{2}\,dx = \dfrac{5 x^{3}}{3} + C. La letra CC representa a todas las primitivas a la vez, no a una sola.

Respuesta: 5x33+C\dfrac{5 x^{3}}{3} + C

6. Hallá la primitiva de f(x)=x2f(x) = x^{2} que pasa por el punto (2,4)(2, 4).

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1. Escribimos la familia de primitivas. F(x)=x33+CF(x) = \dfrac{x^{3}}{3} + C

2. Imponemos la condición. F(2)=4F(2) = 4, o sea 83+C=4\dfrac{8}{3} + C = 4.

3. Despejamos la constante. C=43C = \dfrac{4}{3}

4. Escribimos la primitiva pedida. F(x)=x33+43F(x) = \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{4}{3}. La condición elige una sola curva de la familia infinita.

Respuesta: F(x)=x33+43F(x) = \dfrac{x^{3}}{3} + \dfrac{4}{3}

7. Explicá qué relación geométrica hay entre las primitivas F(x)=x2F(x) = x^{2} y G(x)=x2+3G(x) = x^{2} + 3, y comparalas en x=1x = 1.

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1. Derivamos las dos. F′(x)=2xF'(x) = 2x y G′(x)=2xG'(x) = 2x: son primitivas de la misma función.

2. Comparamos las alturas en el punto. F(1)=1F(1) = 1 y G(1)=4G(1) = 4: difieren en 33, igual que en cualquier otra abscisa.

3. Comparamos las pendientes. F′(1)=2F'(1) = 2 y G′(1)=2G'(1) = 2: son iguales, y eso vale para todo xx.

4. Interpretamos. Es la misma curva corrida 33 unidades hacia arriba. Todas las primitivas de una función forman esa familia de curvas paralelas.

Respuesta: es la misma curva desplazada 33 unidades hacia arriba, con la misma pendiente en cada punto

8. Un móvil arranca en la posición 00 con velocidad v(t)=t+30v(t) = t + 30 metros por segundo. Hallá su posición a los tt segundos.

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1. Identificamos la relación. La velocidad es la derivada de la posición, así que la posición es una primitiva de la velocidad.

2. Integramos. s(t)=t22+30t+Cs(t) = \dfrac{t^{2}}{2} + 30 t + C

3. Usamos la condición inicial. s(0)=0s(0) = 0, y reemplazando queda C=0C = 0.

4. Escribimos la respuesta. s(t)=t22+30ts(t) = \dfrac{t^{2}}{2} + 30 t metros. Sin el dato de la posición inicial la constante quedaría indeterminada y el problema no tendría una única solución.

Respuesta: s(t)=t22+30ts(t) = \dfrac{t^{2}}{2} + 30 t metros

9. Escribí todas las primitivas de f(x)=6x2f(x) = 6x^{2}.

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1. Hallamos una primitiva. Subimos el exponente y dividimos: F(x)=2x3F(x) = 2 x^{3}.

2. Verificamos. F′(x)=6x2F'(x) = 6x^{2}, que es el integrando.

3. Agregamos la constante. Cualquier constante sumada tiene derivada cero, así que también sirve: 2x3+C2 x^{3} + C.

4. Escribimos el resultado. ∫6x2 dx=2x3+C\int 6x^{2}\,dx = 2 x^{3} + C. La letra CC representa a todas las primitivas a la vez, no a una sola.

Respuesta: 2x3+C2 x^{3} + C

10. Hallá la primitiva de f(x)=5x2f(x) = 5x^{2} que pasa por el punto (0,2)(0, 2).

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1. Escribimos la familia de primitivas. F(x)=5x33+CF(x) = \dfrac{5 x^{3}}{3} + C

2. Imponemos la condición. F(0)=2F(0) = 2, o sea 0+C=20 + C = 2.

3. Despejamos la constante. C=2C = 2

4. Escribimos la primitiva pedida. F(x)=5x33+2F(x) = \dfrac{5 x^{3}}{3} + 2. La condición elige una sola curva de la familia infinita.

Respuesta: F(x)=5x33+2F(x) = \dfrac{5 x^{3}}{3} + 2

11. Explicá qué relación geométrica hay entre las primitivas F(x)=x2F(x) = x^{2} y G(x)=x2+4G(x) = x^{2} + 4, y comparalas en x=1x = 1.

Ver solución

1. Derivamos las dos. F′(x)=2xF'(x) = 2x y G′(x)=2xG'(x) = 2x: son primitivas de la misma función.

2. Comparamos las alturas en el punto. F(1)=1F(1) = 1 y G(1)=5G(1) = 5: difieren en 44, igual que en cualquier otra abscisa.

3. Comparamos las pendientes. F′(1)=2F'(1) = 2 y G′(1)=2G'(1) = 2: son iguales, y eso vale para todo xx.

4. Interpretamos. Es la misma curva corrida 44 unidades hacia arriba. Todas las primitivas de una función forman esa familia de curvas paralelas.

Respuesta: es la misma curva desplazada 44 unidades hacia arriba, con la misma pendiente en cada punto

12. Un móvil arranca en la posición 00 con velocidad v(t)=2t+10v(t) = 2 t + 10 metros por segundo. Hallá su posición a los tt segundos.

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1. Identificamos la relación. La velocidad es la derivada de la posición, así que la posición es una primitiva de la velocidad.

2. Integramos. s(t)=t2+10t+Cs(t) = t^{2} + 10 t + C

3. Usamos la condición inicial. s(0)=0s(0) = 0, y reemplazando queda C=0C = 0.

4. Escribimos la respuesta. s(t)=t2+10ts(t) = t^{2} + 10 t metros. Sin el dato de la posición inicial la constante quedaría indeterminada y el problema no tendría una única solución.

Respuesta: s(t)=t2+10ts(t) = t^{2} + 10 t metros

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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