Método

Ejercicios: Primitivas

F es primitiva de f si F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Verificá que F(x)=4x3+3xF(x) = 4 x^{3} + 3 x es una primitiva de f(x)=12x2+3f(x) = 12 x^{2} + 3.

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1. Recordamos la definición. FF es primitiva de ff cuando F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), así que el chequeo es derivar.

2. Derivamos FF. F′(x)=12x2+3F'(x) = 12 x^{2} + 3

3. Comparamos con ff. Coincide exactamente con el integrando.

4. Sacamos la conclusión práctica. Toda integral se verifica derivando el resultado. Es un control que no cuesta nada y conviene hacerlo siempre.

Respuesta: sí lo es, porque F′(x)=12x2+3F'(x) = 12 x^{2} + 3

2. Decidí cuál de las dos funciones es primitiva de f(x)=4xf(x) = 4x: F1(x)=2x2F_{1}(x) = 2 x^{2} o F2(x)=4x2F_{2}(x) = 4 x^{2}.

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1. Planteamos el criterio. Hay que derivar cada candidata y ver cuál devuelve el integrando.

2. Derivamos la primera. F1′(x)=4xF_{1}'(x) = 4x, que es exactamente ff.

3. Derivamos la segunda. F2′(x)=8xF_{2}'(x) = 8x, que es el doble de lo buscado.

4. Concluimos. La primitiva es F1F_{1}. El error de F2F_{2} es haber multiplicado por el exponente en vez de dividir: integrar es lo contrario de derivar.

Respuesta: F1(x)=2x2F_{1}(x) = 2 x^{2}

3. Hallá una primitiva de f(x)=x7f(x) = x^{7} y verificala.

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1. Pensamos qué hay que derivar para obtener eso. Al derivar una potencia baja el exponente, así que la primitiva tiene que tener exponente 88.

2. Proponemos y ajustamos. Derivando x8x^{8} queda 8x78x^{7}, así que hay que dividir por 88.

3. Escribimos la primitiva. F(x)=x88F(x) = \dfrac{x^{8}}{8}

4. Verificamos derivando. F′(x)=x7F'(x) = x^{7}, que es el integrando original.

Respuesta: F(x)=x88F(x) = \dfrac{x^{8}}{8}

4. Mostrá que F(x)=7x2F(x) = 7x^{2} y G(x)=7x2+4G(x) = 7x^{2} + 4 son las dos primitivas de la misma función.

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1. Derivamos la primera. F′(x)=14xF'(x) = 14x

2. Derivamos la segunda. G′(x)=14x+0=14xG'(x) = 14x + 0 = 14x, porque la derivada de una constante es cero.

3. Comparamos. Las dos derivadas coinciden, así que las dos son primitivas de 14x14x.

4. Interpretamos. Se diferencian en la constante 44: son la misma curva desplazada 44 unidades hacia arriba, con la misma pendiente en cada abscisa.

Respuesta: las dos derivan en 14x14x y difieren solo en la constante

5. Verificá que F(x)=7x3+2xF(x) = 7 x^{3} + 2 x es una primitiva de f(x)=21x2+2f(x) = 21 x^{2} + 2.

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1. Recordamos la definición. FF es primitiva de ff cuando F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), así que el chequeo es derivar.

2. Derivamos FF. F′(x)=21x2+2F'(x) = 21 x^{2} + 2

3. Comparamos con ff. Coincide exactamente con el integrando.

4. Sacamos la conclusión práctica. Toda integral se verifica derivando el resultado. Es un control que no cuesta nada y conviene hacerlo siempre.

Respuesta: sí lo es, porque F′(x)=21x2+2F'(x) = 21 x^{2} + 2

6. Decidí cuál de las dos funciones es primitiva de f(x)=7xf(x) = 7x: F1(x)=7x22F_{1}(x) = \dfrac{7 x^{2}}{2} o F2(x)=7x2F_{2}(x) = 7 x^{2}.

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1. Planteamos el criterio. Hay que derivar cada candidata y ver cuál devuelve el integrando.

2. Derivamos la primera. F1′(x)=7xF_{1}'(x) = 7x, que es exactamente ff.

3. Derivamos la segunda. F2′(x)=14xF_{2}'(x) = 14x, que es el doble de lo buscado.

4. Concluimos. La primitiva es F1F_{1}. El error de F2F_{2} es haber multiplicado por el exponente en vez de dividir: integrar es lo contrario de derivar.

Respuesta: F1(x)=7x22F_{1}(x) = \dfrac{7 x^{2}}{2}

7. Hallá una primitiva de f(x)=x3f(x) = x^{3} y verificala.

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1. Pensamos qué hay que derivar para obtener eso. Al derivar una potencia baja el exponente, así que la primitiva tiene que tener exponente 44.

2. Proponemos y ajustamos. Derivando x4x^{4} queda 4x34x^{3}, así que hay que dividir por 44.

3. Escribimos la primitiva. F(x)=x44F(x) = \dfrac{x^{4}}{4}

4. Verificamos derivando. F′(x)=x3F'(x) = x^{3}, que es el integrando original.

Respuesta: F(x)=x44F(x) = \dfrac{x^{4}}{4}

8. Mostrá que F(x)=4x2F(x) = 4x^{2} y G(x)=4x2+1G(x) = 4x^{2} + 1 son las dos primitivas de la misma función.

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1. Derivamos la primera. F′(x)=8xF'(x) = 8x

2. Derivamos la segunda. G′(x)=8x+0=8xG'(x) = 8x + 0 = 8x, porque la derivada de una constante es cero.

3. Comparamos. Las dos derivadas coinciden, así que las dos son primitivas de 8x8x.

4. Interpretamos. Se diferencian en la constante 11: son la misma curva desplazada 11 unidades hacia arriba, con la misma pendiente en cada abscisa.

Respuesta: las dos derivan en 8x8x y difieren solo en la constante

9. Verificá que F(x)=3x3+2xF(x) = 3 x^{3} + 2 x es una primitiva de f(x)=9x2+2f(x) = 9 x^{2} + 2.

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1. Recordamos la definición. FF es primitiva de ff cuando F′(x)=f(x)F'(x) = f(x), así que el chequeo es derivar.

2. Derivamos FF. F′(x)=9x2+2F'(x) = 9 x^{2} + 2

3. Comparamos con ff. Coincide exactamente con el integrando.

4. Sacamos la conclusión práctica. Toda integral se verifica derivando el resultado. Es un control que no cuesta nada y conviene hacerlo siempre.

Respuesta: sí lo es, porque F′(x)=9x2+2F'(x) = 9 x^{2} + 2

10. Decidí cuál de las dos funciones es primitiva de f(x)=3xf(x) = 3x: F1(x)=3x22F_{1}(x) = \dfrac{3 x^{2}}{2} o F2(x)=3x2F_{2}(x) = 3 x^{2}.

Ver solución

1. Planteamos el criterio. Hay que derivar cada candidata y ver cuál devuelve el integrando.

2. Derivamos la primera. F1′(x)=3xF_{1}'(x) = 3x, que es exactamente ff.

3. Derivamos la segunda. F2′(x)=6xF_{2}'(x) = 6x, que es el doble de lo buscado.

4. Concluimos. La primitiva es F1F_{1}. El error de F2F_{2} es haber multiplicado por el exponente en vez de dividir: integrar es lo contrario de derivar.

Respuesta: F1(x)=3x22F_{1}(x) = \dfrac{3 x^{2}}{2}

11. Hallá una primitiva de f(x)=x6f(x) = x^{6} y verificala.

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1. Pensamos qué hay que derivar para obtener eso. Al derivar una potencia baja el exponente, así que la primitiva tiene que tener exponente 77.

2. Proponemos y ajustamos. Derivando x7x^{7} queda 7x67x^{6}, así que hay que dividir por 77.

3. Escribimos la primitiva. F(x)=x77F(x) = \dfrac{x^{7}}{7}

4. Verificamos derivando. F′(x)=x6F'(x) = x^{6}, que es el integrando original.

Respuesta: F(x)=x77F(x) = \dfrac{x^{7}}{7}

12. Mostrá que F(x)=5x2F(x) = 5x^{2} y G(x)=5x2+2G(x) = 5x^{2} + 2 son las dos primitivas de la misma función.

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1. Derivamos la primera. F′(x)=10xF'(x) = 10x

2. Derivamos la segunda. G′(x)=10x+0=10xG'(x) = 10x + 0 = 10x, porque la derivada de una constante es cero.

3. Comparamos. Las dos derivadas coinciden, así que las dos son primitivas de 10x10x.

4. Interpretamos. Se diferencian en la constante 22: son la misma curva desplazada 22 unidades hacia arriba, con la misma pendiente en cada abscisa.

Respuesta: las dos derivan en 10x10x y difieren solo en la constante

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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