Ejercicios: Razones de cambio relacionadas

se deriva respecto de t, con x e y funciones de t

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Una escalera de $17$ metros apoyada en una pared resbala: su pie se aleja a $2$ metros por segundo. Hallá a qué velocidad baja el extremo superior cuando el pie está a $8$ metros de la pared.

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1. Escribimos la ecuación que relaciona. Por Pitágoras, $x^{2} + y^{2} = 289$ , con $x$ la distancia del pie a la pared e $y$ la altura.

2. Derivamos los dos lados respecto del tiempo. $2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt} = 0$ , porque el largo de la escalera es constante.

3. Calculamos la altura en ese instante. $y = \sqrt{289 - 64} = 15$ metros.

4. Reemplazamos y despejamos. $8 \cdot 2 + 15\dfrac{dy}{dt} = 0$ , así que $\dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{16}{15} \approx -1{,}0667$ metros por segundo. El signo negativo indica que baja.

Respuesta: baja a $1{,}0667$ metros por segundo

2. Un tanque cilíndrico de radio $5$ metros se llena a $10$ metros cúbicos por minuto. Hallá a qué velocidad sube el nivel del agua.

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1. Escribimos la ecuación que relaciona. $V = \pi r^{2}h$ , y el radio es fijo: $V = 25 \pi h$ .

2. Derivamos respecto del tiempo. $\dfrac{dV}{dt} = 25 \pi\dfrac{dh}{dt}$

3. Reemplazamos el dato. $10 = 25 \pi\dfrac{dh}{dt}$

4. Despejamos. $\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{2}{5 \pi} \approx 0{,}1273$ metros por minuto. Como el radio no cambia, la velocidad de subida es constante.

Respuesta: sube a $0{,}1273$ metros por minuto

3. Un globo esférico se infla a $120$ centímetros cúbicos por segundo. Hallá a qué velocidad crece su radio cuando mide $4$ cm.

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1. Escribimos la ecuación. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$

2. Derivamos respecto del tiempo. $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^{2}\dfrac{dr}{dt}$ , por la regla de la cadena.

3. Reemplazamos los datos del instante. $120 = 4\pi \cdot 16 \cdot \dfrac{dr}{dt}$

4. Despejamos. $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{15}{8 \pi} \approx 0{,}5968$ centímetros por segundo. Cuanto más grande el globo, más lento crece el radio con el mismo caudal.

Respuesta: el radio crece a $0{,}5968$ centímetros por segundo

4. Dos autos salen del mismo punto: uno hacia el norte a $7$ km por hora y el otro hacia el este a $24$ km por hora. Hallá a qué velocidad se separan.

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1. Escribimos la ecuación que relaciona. Si $x$ e $y$ son las distancias recorridas, la separación cumple $s^{2} = x^{2} + y^{2}$ .

2. Derivamos respecto del tiempo. $2s\dfrac{ds}{dt} = 2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt}$

3. Escribimos las posiciones a las $t$ horas. $x = 7t$ e $y = 24t$ , así que $s = t\sqrt{49 + 576} = 25t$ .

4. Despejamos. $\dfrac{ds}{dt} = 25$ km por hora, constante: el triángulo crece siempre con la misma forma.

Respuesta: se separan a $25$ km por hora

5. Una escalera de $25$ metros apoyada en una pared resbala: su pie se aleja a $3$ metros por segundo. Hallá a qué velocidad baja el extremo superior cuando el pie está a $7$ metros de la pared.

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1. Escribimos la ecuación que relaciona. Por Pitágoras, $x^{2} + y^{2} = 625$ , con $x$ la distancia del pie a la pared e $y$ la altura.

2. Derivamos los dos lados respecto del tiempo. $2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt} = 0$ , porque el largo de la escalera es constante.

3. Calculamos la altura en ese instante. $y = \sqrt{625 - 49} = 24$ metros.

4. Reemplazamos y despejamos. $7 \cdot 3 + 24\dfrac{dy}{dt} = 0$ , así que $\dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{7}{8} = -0{,}875$ metros por segundo. El signo negativo indica que baja.

Respuesta: baja a $0{,}875$ metros por segundo

6. Un tanque cilíndrico de radio $2$ metros se llena a $3$ metros cúbicos por minuto. Hallá a qué velocidad sube el nivel del agua.

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1. Escribimos la ecuación que relaciona. $V = \pi r^{2}h$ , y el radio es fijo: $V = 4 \pi h$ .

2. Derivamos respecto del tiempo. $\dfrac{dV}{dt} = 4 \pi\dfrac{dh}{dt}$

3. Reemplazamos el dato. $3 = 4 \pi\dfrac{dh}{dt}$

4. Despejamos. $\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{3}{4 \pi} \approx 0{,}2387$ metros por minuto. Como el radio no cambia, la velocidad de subida es constante.

Respuesta: sube a $0{,}2387$ metros por minuto

7. Un globo esférico se infla a $200$ centímetros cúbicos por segundo. Hallá a qué velocidad crece su radio cuando mide $10$ cm.

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1. Escribimos la ecuación. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$

2. Derivamos respecto del tiempo. $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^{2}\dfrac{dr}{dt}$ , por la regla de la cadena.

3. Reemplazamos los datos del instante. $200 = 4\pi \cdot 100 \cdot \dfrac{dr}{dt}$

4. Despejamos. $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{1}{2 \pi} \approx 0{,}1592$ centímetros por segundo. Cuanto más grande el globo, más lento crece el radio con el mismo caudal.

Respuesta: el radio crece a $0{,}1592$ centímetros por segundo

8. Dos autos salen del mismo punto: uno hacia el norte a $8$ km por hora y el otro hacia el este a $15$ km por hora. Hallá a qué velocidad se separan.

Ver solución

1. Escribimos la ecuación que relaciona. Si $x$ e $y$ son las distancias recorridas, la separación cumple $s^{2} = x^{2} + y^{2}$ .

2. Derivamos respecto del tiempo. $2s\dfrac{ds}{dt} = 2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt}$

3. Escribimos las posiciones a las $t$ horas. $x = 8t$ e $y = 15t$ , así que $s = t\sqrt{64 + 225} = 17t$ .

4. Despejamos. $\dfrac{ds}{dt} = 17$ km por hora, constante: el triángulo crece siempre con la misma forma.

Respuesta: se separan a $17$ km por hora

9. Una escalera de $5$ metros apoyada en una pared resbala: su pie se aleja a $1$ metros por segundo. Hallá a qué velocidad baja el extremo superior cuando el pie está a $3$ metros de la pared.

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1. Escribimos la ecuación que relaciona. Por Pitágoras, $x^{2} + y^{2} = 25$ , con $x$ la distancia del pie a la pared e $y$ la altura.

2. Derivamos los dos lados respecto del tiempo. $2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt} = 0$ , porque el largo de la escalera es constante.

3. Calculamos la altura en ese instante. $y = \sqrt{25 - 9} = 4$ metros.

4. Reemplazamos y despejamos. $3 \cdot 1 + 4\dfrac{dy}{dt} = 0$ , así que $\dfrac{dy}{dt} = - \dfrac{3}{4} = -0{,}75$ metros por segundo. El signo negativo indica que baja.

Respuesta: baja a $0{,}75$ metros por segundo

10. Un tanque cilíndrico de radio $2$ metros se llena a $6$ metros cúbicos por minuto. Hallá a qué velocidad sube el nivel del agua.

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1. Escribimos la ecuación que relaciona. $V = \pi r^{2}h$ , y el radio es fijo: $V = 4 \pi h$ .

2. Derivamos respecto del tiempo. $\dfrac{dV}{dt} = 4 \pi\dfrac{dh}{dt}$

3. Reemplazamos el dato. $6 = 4 \pi\dfrac{dh}{dt}$

4. Despejamos. $\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{3}{2 \pi} \approx 0{,}4775$ metros por minuto. Como el radio no cambia, la velocidad de subida es constante.

Respuesta: sube a $0{,}4775$ metros por minuto

11. Un globo esférico se infla a $150$ centímetros cúbicos por segundo. Hallá a qué velocidad crece su radio cuando mide $5$ cm.

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1. Escribimos la ecuación. $V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$

2. Derivamos respecto del tiempo. $\dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^{2}\dfrac{dr}{dt}$ , por la regla de la cadena.

3. Reemplazamos los datos del instante. $150 = 4\pi \cdot 25 \cdot \dfrac{dr}{dt}$

4. Despejamos. $\dfrac{dr}{dt} = \dfrac{3}{2 \pi} \approx 0{,}4775$ centímetros por segundo. Cuanto más grande el globo, más lento crece el radio con el mismo caudal.

Respuesta: el radio crece a $0{,}4775$ centímetros por segundo

12. Dos autos salen del mismo punto: uno hacia el norte a $6$ km por hora y el otro hacia el este a $8$ km por hora. Hallá a qué velocidad se separan.

Ver solución

1. Escribimos la ecuación que relaciona. Si $x$ e $y$ son las distancias recorridas, la separación cumple $s^{2} = x^{2} + y^{2}$ .

2. Derivamos respecto del tiempo. $2s\dfrac{ds}{dt} = 2x\dfrac{dx}{dt} + 2y\dfrac{dy}{dt}$

3. Escribimos las posiciones a las $t$ horas. $x = 6t$ e $y = 8t$ , así que $s = t\sqrt{36 + 64} = 10t$ .

4. Despejamos. $\dfrac{ds}{dt} = 10$ km por hora, constante: el triángulo crece siempre con la misma forma.

Respuesta: se separan a $10$ km por hora

Integradores de Aplicaciones de la derivada: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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