Razones de cambio relacionadas

Una escalera de $5 m$ resbala. El pie se aleja de la pared a $2 m/s$. ¿A qué velocidad baja el extremo superior cuando el pie está a $3 m$?

Escribimos la relación entre las variables. $x^{2} + y^{2} = 25$, donde $x$ es la distancia del pie a la pared e $y$ la altura.
Derivamos respecto del tiempo. $2x x' + 2y y' = 0$, que simplificando queda $x x' + y y' = 0$.
Recién ahora buscamos los valores del instante. Con $x = 3$: $9 + y^{2} = 25$, así que $y = 4$. Y el dato es $x' = 2$.
Reemplazamos y despejamos. $3 \cdot 2 + 4 \cdot y' = 0$, entonces $y' = -6/4 = -1{,}5$.
Interpretamos el signo. Negativo significa que $y$ disminuye: el extremo baja.
Respuesta: el extremo superior baja a $1{,}5 m/s$

Se infla un globo esférico a $100 \,\mathrm{cm}^{3}/s$. ¿A qué velocidad crece el radio cuando vale $5$ cm?

Escribimos la relación. El volumen de una esfera es $V = (4/3) \pi r^{3}$.
Derivamos respecto del tiempo. $V' = 4\pi r^{2} \cdot r'$, por la regla de la cadena.
Anotamos los datos del instante. $V' = 100$ y $r = 5$.
Reemplazamos y despejamos. $100 = 4\pi \cdot 25 \cdot r'$, entonces $r' = 100/(100\pi ) = 1/\pi$.
Interpretamos. Es aproximadamente $0{,}32 \,\mathrm{cm}/s$. A medida que el globo crece el radio aumenta cada vez más despacio, porque $r^{2}$ crece.
Respuesta: el radio crece a $1/\pi \approx 0{,}32 \,\mathrm{cm}/s$