La regla de L'Hôpital

L'Hôpital resuelve indeterminaciones de cero sobre cero o infinito sobre infinito derivando por separado el numerador y el denominador.

El detalle que hay que tener claro es que no se aplica la regla del cociente: se deriva arriba y abajo por separado y se arma un cociente nuevo con las dos derivadas. Confundir eso es el error más grave del tema.

Después se evalúa el nuevo cociente. Si ya no hay indeterminación, ese es el límite. Si sigue habiendo, se puede aplicar de nuevo, tantas veces como haga falta.

Antes de aplicarla hay que verificar que efectivamente haya indeterminación de uno de esos dos tipos. Usarla sin verificar da resultados falsos, y es algo que los parciales suelen castigar.

También conviene no abusar. Muchos límites salen más rápido factorizando o usando límites notables, y L'Hôpital a veces complica la expresión en vez de simplificarla.

\lim f(x)/g(x) = \lim f'(x)/g'(x)

Cuándo se usa

Cuando hay cero sobre cero o infinito sobre infinito y las técnicas algebraicas no salen. Verificá la indeterminación antes de aplicarla, y derivá arriba y abajo por separado, sin usar la regla del cociente.

Ejemplo 1

Calcular $\lim (x^{2} - 4) / (x - 2)$ con $x \to 2$ .

Verificamos la indeterminación. Arriba: $4 - 4 = 0$ . Abajo: $2 - 2 = 0$ . Es $0/0$ , se puede aplicar.
Derivamos el numerador. $(x^{2} - 4) ' = 2x$
Derivamos el denominador. $(x - 2) ' = 1$
Armamos el nuevo límite y reemplazamos. $\lim 2x / 1 = 2 \cdot 2 = 4$
Respuesta: el límite vale $4$

Ejemplo 2

Calcular $\lim (e^{x} - 1) / x$ con $x \to 0$ .

Verificamos la indeterminación. Arriba: $e^{0} - 1 = 0$ . Abajo: $0$ . Es $0/0$ .
Derivamos las dos partes. Arriba: $e^{x}$ . Abajo: $1$ .
Armamos el nuevo límite. $\lim e^{x} / 1$
Reemplazamos. $e^{0} = 1$
Respuesta: el límite vale $1$

Error típico

Aplicar la regla sin verificar la indeterminación. Para $\lim (x + 1)/(x + 2)$ con $x \to 0$ el resultado es $1/2$ , pero derivando arriba y abajo daría $1$ : mal, porque no era indeterminado.

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .