Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es donde la curva cambia de concavidad: pasa de tener forma de recipiente a tener forma de cúpula, o al revés.

Los candidatos son los puntos donde la derivada segunda se anula o no existe. Pero igual que con los puntos críticos, ser candidato no alcanza: hay que verificar que el signo efectivamente cambie.

Ese es el error más común del tema. Que la derivada segunda se anule no garantiza inflexión: puede tocar el cero y volver al mismo signo, y ahí la concavidad no cambió.

La verificación es la misma de siempre: evaluar la derivada segunda a cada lado del candidato y comparar los signos.

Una particularidad geométrica: en un punto de inflexión la recta tangente atraviesa la curva en vez de quedarse de un solo lado. Es el único lugar donde eso pasa.

Para dar el punto completo hay que evaluar la función original, no la segunda derivada, porque lo que se pide son las coordenadas del punto sobre la curva.

hay inflexión donde

f''

cambia de signo

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide puntos de inflexión. Igualá la derivada segunda a cero, y después verificá que el signo cambie de verdad a cada lado. Para dar el punto, evaluá la función original.

Ejemplo 1

Hallar los puntos de inflexión de $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 5$ .

Derivamos dos veces. $f'(x) = 3x^{2} - 12x$ y $f''(x) = 6x - 12$ .
Igualamos la segunda a cero. $6x - 12 = 0$ , entonces $x = 2$ .
Verificamos el cambio de signo. $f''(0) = -12 < 0$ y $f''(3) = 6 > 0$ . Cambia.
Calculamos la ordenada. $f(2) = 8 - 24 + 5 = -11$ .
Respuesta: hay inflexión en $(2, -11)$

Ejemplo 2

Decidir si $f(x) = x^{4} + 2$ tiene puntos de inflexión.

Derivamos dos veces. $f'(x) = 4x^{3}$ y $f''(x) = 12x^{2}$ .
Igualamos a cero. $12x^{2} = 0$ , entonces $x = 0$ . Es el único candidato.
Verificamos el cambio de signo. $f''(-1) = 12 > 0$ y $f''(1) = 12 > 0$ . No cambia.
Concluimos. La concavidad es hacia arriba a los dos lados, así que no hay inflexión.
Respuesta: no tiene puntos de inflexión, aunque $f''(0) = 0$

Error típico

Anotar como inflexión todo punto donde $f''$ se anula, sin verificar el cambio de signo. Es exactamente el mismo error que dar por extremo a todo punto crítico.

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .