Rolle y el valor medio

Estos dos teoremas garantizan que existe un punto con cierta propiedad, sin decir cuál es. Son los teoremas más usados en las partes teóricas de los parciales.

Rolle dice que si una función continua y derivable toma el mismo valor en los dos extremos de un intervalo, entonces en algún punto del medio la derivada se anula. La idea es que si arranca y termina a la misma altura, en algún momento tuvo que dar la vuelta.

El teorema del valor medio es la versión general. Dice que existe un punto donde la pendiente de la tangente es igual a la pendiente de la recta que une los extremos. O sea que en algún momento la velocidad instantánea coincidió con la velocidad promedio.

Rolle es el caso particular donde esa recta es horizontal, porque los dos extremos están a la misma altura.

Las hipótesis son estrictas: continuidad en el intervalo cerrado y derivabilidad en el abierto. Si falta alguna, la conclusión puede fallar, y muchos ejercicios piden justamente encontrar el contraejemplo.

f(a) = f(b)

, existe c en (a, b) con

f'(c) = 0

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide probar que existe un punto con cierta propiedad, o hallar el punto que verifica el teorema. Chequeá siempre las hipótesis primero: es lo que más se pide justificar.

Ejemplo 1

Verificar Rolle para $f(x) = x^{2} - 4x$ en $[0, 4]$ y hallar el $c$ .

Verificamos las hipótesis. Es un polinomio: continuo y derivable en todos lados.
Verificamos que los extremos tengan la misma altura. $f(0) = 0$ y $f(4) = 16 - 16 = 0$ . Coinciden.
Planteamos la conclusión del teorema. Existe $c$ en $(0, 4)$ con $f'(c) = 0$ .
Derivamos y resolvemos. $f'(x) = 2x - 4 = 0$ , entonces $c = 2$ , que está dentro del intervalo.
Respuesta: se cumplen las hipótesis y $c = 2$

Ejemplo 2

Hallar el $c$ del valor medio para $f(x) = x^{2}$ en $[1, 3]$ .

Calculamos la pendiente de la cuerda. $[f(3) - f(1)] / (3 - 1) = (9 - 1) / 2 = 4$ .
Planteamos la igualdad del teorema. Buscamos $c$ con $f'(c) = 4$ .
Derivamos y resolvemos. $f'(x) = 2x$ , así que $2c = 4$ y $c = 2$ .
Verificamos que esté dentro. $2$ está en $(1, 3)$ .
Respuesta: $c = 2$ , donde la tangente es paralela a la cuerda

Error típico

Aplicar el teorema sin verificar las hipótesis. Si la función tiene un salto o un pico dentro del intervalo, la conclusión puede ser falsa y el ejercicio no tiene solución.

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .