Leer el gráfico de $f'$
Muchos ejercicios dan el gráfico de la derivada y piden información sobre la función original. Es un cambio de perspectiva que confunde al principio pero se resuelve con pocas reglas.
Donde la derivada está por encima del eje, la función original crece. Donde está por debajo, decrece. Donde la derivada cruza el eje, la función tiene un punto crítico.
El sentido del cruce clasifica el extremo. Si la derivada cruza de arriba hacia abajo, la función pasa de crecer a decrecer y hay máximo. Si cruza de abajo hacia arriba, hay mínimo.
Los máximos y mínimos del gráfico de la derivada no son extremos de la función original: son sus puntos de inflexión, porque ahí la derivada deja de crecer y empieza a decrecer, o al revés.
El error más frecuente es leer el gráfico como si fuera el de la función. Un valor alto en el gráfico de la derivada no significa que la función esté alta, sino que está subiendo rápido.
Cuando el enunciado aclara que el gráfico dado es el de la derivada. Cruces con el eje son puntos críticos de la función, y los extremos del gráfico de la derivada son inflexiones de la función.
El gráfico de es una recta que cruza el eje en , negativa antes y positiva después. Describir .
Leemos el tramo anterior al cruce. Para la derivada es negativa, así que decrece.
Leemos el tramo posterior. Para la derivada es positiva, así que crece.
Interpretamos el cruce. El signo pasa de a : hay un mínimo en .
Leemos la concavidad. La recta es creciente en todo su recorrido, así que siempre y es cóncava hacia arriba en todos lados.
Respuesta: decrece hasta , tiene un mínimo ahí, después crece, y es cóncava hacia arriba en todo el dominio
El gráfico de es una parábola con vértice en que no corta el eje y está siempre por encima. Describir .
Leemos el signo. es positiva en todo el dominio, porque nunca baja del eje.
Traducimos. crece siempre y no tiene ningún punto crítico.
Leemos dónde sube y dónde baja. decrece hasta y crece después.
Traducimos eso a concavidad. antes de y después: hay una inflexión en .
Respuesta: crece siempre, sin extremos, con una inflexión en
Leer el gráfico de como si fuera el de . Si tiene un máximo, eso no significa que tenga un máximo: significa que tiene una inflexión, porque ahí deja de acelerar y empieza a frenar.
Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada
- 1. Crecimiento y decrecimiento
- 2. Puntos críticos
- 3. El criterio de la primera derivada
- 4. Máximos y mínimos absolutos
- 5. Rolle y el valor medio
- 6. Concavidad
- 7. Puntos de inflexión
- 8. El criterio de la derivada segunda
- 9. Cuándo el criterio no decide
- 11. Asíntotas oblicuas
- 12. El estudio completo, paso a paso
- 13. Del estudio al gráfico
- 14. La regla de L'Hôpital
- 15. Las otras indeterminaciones
- 16. Optimización: el método
- 17. Optimización con geometría
- 18. Razones de cambio relacionadas
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